解説

方針・初手

$a_k-a_{k-1}$ の形が出ているので、まずは階差の和として望ましい形であることに注目する。

階差の和は途中の項が打ち消し合うため、

$$ \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})=a_n-a_0

$$

となる。また、$a_k-a_{k-1}$ を直接計算すると、(2) の和と結びつく。

解法1

まず

$$ a_k=k(k+1)(k+2)(k+3)

$$

であるから、

$$ a_{k-1}=(k-1)k(k+1)(k+2)

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_k-a_{k-1} &=k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\\ &=k(k+1)(k+2){(k+3)-(k-1)}\\ &=4k(k+1)(k+2) \end{aligned}

$$

となる。

(1)

階差の和として計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1}) &=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+\cdots+(a_n-a_{n-1})\\ &=a_n-a_0 \end{aligned}

$$

である。

ここで、

$$ a_n=n(n+1)(n+2)(n+3),\qquad a_0=0\cdot 1\cdot 2\cdot 3=0

$$

より、

$$ \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})=n(n+1)(n+2)(n+3)

$$

である。

(2)

先ほど求めた

$$ a_k-a_{k-1}=4k(k+1)(k+2)

$$

を用いると、

$$ k(k+1)(k+2)=\frac{a_k-a_{k-1}}{4}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) &=\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\\ &=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3) \end{aligned}

$$

より、

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

$$

である。

(3)

まず、左辺を展開すると、

$$ k(k+1)(k+2)=k(k^2+3k+2)=k^3+3k^2+2k

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) &= \sum_{k=1}^{n}k^3 +3\sum_{k=1}^{n}k^2 +2\sum_{k=1}^{n}k \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k^3 &= \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) -3\sum_{k=1}^{n}k^2 -2\sum_{k=1}^{n}k \end{aligned} $$

である。

ここに、(2) の結果と

$$ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

$$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k^3 &=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} -3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(n+1)\left\{\frac{(n+2)(n+3)}{4}-\frac{2n+1}{2}-1\right\}\\ &=n(n+1)\left\{\frac{n^2+5n+6-4n-2-4}{4}\right\}\\ &=n(n+1)\cdot\frac{n^2+n}{4}\\ &=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{aligned}

$$

ゆえに、

$$ \sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

$$

である。

解説

この問題の中心は、$a_k-a_{k-1}$ が階差の形になっている点である。

階差の和

$$ \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})

$$

は途中の項がすべて消えるため、$a_n-a_0$ だけが残る。この処理によって、(1) は直接計算できる。

また、$a_k-a_{k-1}=4k(k+1)(k+2)$ と計算できるため、(2) の和は (1) の結果を $4$ で割ればよい。

(3) では、$k(k+1)(k+2)$ を展開して $k^3$ を含む形にすることが重要である。既知の $\sum k$、$\sum k^2$ と、(2) で得た結果を組み合わせることで、$\sum k^3$ の公式が導かれる。

答え

**(1)**

$$ \sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})=n(n+1)(n+2)(n+3)

$$

**(2)**

$$ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}

$$

**(3)**

$$ \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} =\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

$$