解説

方針・初手

条件式は $S_n$ と $a_n$ を結びつけているので、まず $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて $a_n$ の漸化式を作る。

そのまま $a_n$ を扱うより、$a_n-p$ に着目すると漸化式が単純になる。

解法1

与えられた条件より

$$ S_n=\frac{n}{3}(2p+a_n)

$$

である。

まず $n=1$ とすると、

$$ a_1=\frac{1}{3}(2p+a_1)

$$

より

$$ 3a_1=2p+a_1

$$

したがって

$$ a_1=p

$$

である。

また $n=2$ とすると、

$$ a_1+a_2=\frac{2}{3}(2p+a_2)

$$

であり、$a_1=p$ を代入して

$$ p+a_2=\frac{2}{3}(2p+a_2)

$$

となる。よって

$$ 3p+3a_2=4p+2a_2

$$

から

$$ a_2=p

$$

である。

次に、条件式を $n+1$ に対して書くと

$$ S_{n+1}=\frac{n+1}{3}(2p+a_{n+1})

$$

である。一方で $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ だから、

$$ \begin{aligned} \frac{n+1}{3}(2p+a_{n+1}) &= \frac{n}{3}(2p+a_n)+a_{n+1} \end{aligned} $$

が成り立つ。両辺を $3$ 倍して整理すると、

$$ (n+1)(2p+a_{n+1})=n(2p+a_n)+3a_{n+1}

$$

より

$$ 2p+(n-2)a_{n+1}-na_n=0

$$

すなわち

$$ (n-2)a_{n+1}=na_n-2p

$$

を得る。

ここで $c_n=a_n-p$ とおくと、

$$ (n-2)(c_{n+1}+p)=n(c_n+p)-2p

$$

である。右辺は

$$ n(c_n+p)-2p=nc_n+(n-2)p

$$

だから、

$$ (n-2)c_{n+1}=nc_n

$$

となる。

$n=2$ のときは係数が $0$ になるので、ここから $c_3$ は定まらない。問題の条件より $a_3=q$ であるから、

$$ c_3=a_3-p=q-p

$$

である。

$n\geqq 3$ では

$$ c_{n+1}=\frac{n}{n-2}c_n

$$

となる。したがって、$n\geqq 3$ に対して

$$ \begin{aligned} c_n &= \frac{n-1}{n-3}\cdot \frac{n-2}{n-4}\cdots \frac{3}{1}c_3 \\ &= \frac{3\cdot4\cdots(n-1)}{1\cdot2\cdots(n-3)}(q-p) \\ &= \frac{(n-1)(n-2)}{2}(q-p) \end{aligned}

$$

である。

この式は $n=1,2$ でも

$$ \frac{(n-1)(n-2)}{2}=0

$$

となるため、$a_1=a_2=p$ と一致する。よって、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n=p+\frac{(n-1)(n-2)}{2}(q-p)

$$

である。

次に

$$ b_n=a_{n+2}-a_{n+1}

$$

より、

$$ \begin{aligned} b_n &= \left\{p+\frac{(n+1)n}{2}(q-p)\right\} &=

\left\{p+\frac{n(n-1)}{2}(q-p)\right\} \\ &= \frac{(n+1)n-n(n-1)}{2}(q-p) \\ &= n(q-p) \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ b_n=n(q-p)

$$

である。

特に、

$$ b_1=q-p,\qquad b_2=2(q-p),\qquad b_3=3(q-p)

$$

である。

解説

この問題の中心は、和 $S_n$ の条件から $a_n$ の漸化式を作ることである。

$S_n$ が与えられている数列の問題では、基本的に

$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n

$$

または

$$ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}

$$

を使うのが定石である。

ただし、この問題ではそのまま $a_n$ の漸化式にすると定数項 $p$ が残る。そこで $c_n=a_n-p$ とおくと、

$$ (n-2)c_{n+1}=nc_n

$$

という単純な積型の漸化式になる。

また、$n=2$ のとき係数 $n-2$ が $0$ になるため、$a_3$ は条件式からは決まらない。そのため問題では $a_3=q$ と与えられている。この点を見落とすと、漸化式を不正確に扱うことになる。

答え

**(1)**

$$ b_1=q-p,\qquad b_2=2(q-p),\qquad b_3=3(q-p)

$$

**(2)**

$$ b_n=n(q-p)

$$

**(3)**

$$ a_n=p+\frac{(n-1)(n-2)}{2}(q-p)

$$