基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題12 解説
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解説
方針・初手
$s_n$ は $a_n$ の和、$t_n$ は $s_n$ の和であるから、基本関係
$$ s_n-s_{n-1}=a_n,\qquad t_n-t_{n-1}=s_n
$$
を用いる。ただし $s_0=0,\ t_0=0$ とおけば、$n=1$ でも同じ形で扱える。
解法1
**(1)**
$a_n=2^{n-1}$ のとき、
$$ s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n =1+2+\cdots+2^{n-1}
$$
である。これは初項 $1$、公比 $2$ の等比数列の和なので、
$$ s_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1
$$
となる。
**(2)**
$a_n=3$ のとき、
$$ s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=3n
$$
である。したがって、
$$ t_n=s_1+s_2+\cdots+s_n =3(1+2+\cdots+n)
$$
より、
$$ t_n=3\cdot \frac{n(n+1)}{2} =\frac{3n(n+1)}{2}
$$
となる。
（3） まず、与えられた漸化式
$$ t_{n+1}=3t_n+(n+1)(n+2)
$$
を解く。すなわち、
$$ t_{n+1}-3t_n=n^2+3n+2
$$
である。
右辺が $n$ の2次式なので、特殊解を2次式と見て、
$$ t_n=C3^{n-1}+An^2+Bn+D
$$
とおく。これを $t_{n+1}-3t_n=n^2+3n+2$ に代入する。
2次式部分について計算すると、
$$ A(n+1)^2+B(n+1)+D-3(An^2+Bn+D) =n^2+3n+2
$$
である。左辺を整理して、
$$ -2An^2+(2A-2B)n+(A+B-2D)=n^2+3n+2
$$
となる。係数を比較すると、
$$ -2A=1,\qquad 2A-2B=3,\qquad A+B-2D=2
$$
である。よって、
$$ A=-\frac12,\qquad B=-2,\qquad D=-\frac94
$$
となる。
したがって、
$$ t_n=C3^{n-1}-\frac12n^2-2n-\frac94
$$
である。$t_1=2$ より、
$$ 2=C-\frac12-2-\frac94 =C-\frac{19}{4}
$$
だから、
$$ C=\frac{27}{4}
$$
である。よって、
$$ t_n=\frac{27}{4}3^{n-1}-\frac12n^2-2n-\frac94
$$
すなわち、
$$ t_n=\frac94,3^n-\frac{2n^2+8n+9}{4}
$$
となる。
次に、$s_n=t_n-t_{n-1}$ を用いる。上の式は $n=0$ でも $t_0=0$ を与えるので、$n\geqq 1$ でそのまま使える。
$$ \begin{aligned} s_n &=t_n-t_{n-1} \\ &=\left\{\frac94,3^n-\frac{2n^2+8n+9}{4}\right\} -\left\{\frac94,3^{n-1}-\frac{2(n-1)^2+8(n-1)+9}{4}\right\} \\ &=\frac92,3^{n-1}-\frac{2n+3}{2} \end{aligned}
$$
さらに $a_n=s_n-s_{n-1}$ を用いる。$s_0=0$ とおけば、$n=1$ でも成り立つ。
$$ \begin{aligned} a_n &=s_n-s_{n-1} \\ &=\left(\frac92,3^{n-1}-\frac{2n+3}{2}\right) -\left(\frac92,3^{n-2}-\frac{2(n-1)+3}{2}\right) \\ &=9\cdot 3^{n-2}-1 \\ &=3^n-1 \end{aligned}
$$
これは $n=1$ のときも $a_1=3^1-1=2$ となり、$t_1=s_1=a_1=2$ と一致する。
したがって、
$$ a_n=3^n-1
$$
である。
解説
この問題では、$a_n,\ s_n,\ t_n$ の関係を差分で見ることが重要である。
$$ a_n=s_n-s_{n-1},\qquad s_n=t_n-t_{n-1}
$$
なので、$t_n$ から $a_n$ を求めるには、実質的に2回差を取ればよい。
特に （3） では、先に $t_n$ の一般項を求めてから差分を取るのが最も標準的である。漸化式の非同次項が2次式なので、特殊解を2次式で置く処理が自然である。
答え
**(1)**
$$ s_n=2^n-1
$$
**(2)**
$$ t_n=\frac{3n(n+1)}{2}
$$
**(3)**
$$ a_n=3^n-1
$$