基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題14 解説
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解説
方針・初手
等差数列では、離れた2項の差から公差を求めるのが最短である。まず $a_9-a_4$ を考え、そこから初項 $a_1$ と和を求める。
解法1
等差数列 ${a_n}$ の公差を $d$ とする。
等差数列では、添字が $5$ 増えると項は $5d$ だけ増えるので、
$$ a_9-a_4=5d
$$
である。条件より $a_4=174,\ a_9=419$ だから、
$$ 419-174=5d
$$
$$ 245=5d
$$
したがって、
$$ d=49
$$
である。
次に初項 $a_1$ を求める。$a_4=a_1+3d$ より、
$$ 174=a_1+3\cdot 49
$$
$$ 174=a_1+147
$$
よって、
$$ a_1=27
$$
である。
求める和は、
$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_9
$$
であり、等差数列の和の公式から、
$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=\frac{9}{2}(a_1+a_9)
$$
である。したがって、
$$ \sum_{k=1}^{9}a_k=\frac{9}{2}(27+419)
$$
$$ =\frac{9}{2}\cdot 446
$$
$$ =9\cdot 223
$$
$$ =2007
$$
となる。
解説
等差数列では、2つの項が分かっているとき、その添字の差に注目すれば公差が直接求められる。この問題では $a_4$ と $a_9$ の添字の差が $5$ なので、$a_9-a_4=5d$ とするのが基本である。
和については、初項を求めてから
$$ \frac{n}{2}(a_1+a_n)
$$
を使えばよい。今回は $n=9$ であり、末項 $a_9$ はすでに与えられているため、計算量は少ない。
答え
$$ [エ]=49
$$
$$ [オ]=2007
$$