基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題15 解説
数学Bの数列「数列の和」にある問題15の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$S_n$ は初項 $1$，公比 $2$ の等比数列の和である。まず $S_n$ を $n$ の式で表し，それを2つの条件式に代入して整理する。
解法1
$S_n$ は
$$ S_n=1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}
$$
であるから，等比数列の和の公式より
$$ S_n=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1
$$
である。
まず，
$$ S_n^2+2S_n+1=2^{80}
$$
について考える。左辺は平方完成できて，
$$ S_n^2+2S_n+1=(S_n+1)^2
$$
である。ここで $S_n=2^n-1$ より，
$$ S_n+1=2^n
$$
だから，
$$ (S_n+1)^2=(2^n)^2=2^{2n}
$$
となる。したがって
$$ 2^{2n}=2^{80}
$$
であり，指数を比較して
$$ 2n=80
$$
となる。よって
$$ n=40
$$
である。
次に，
$$ S_1+S_2+\cdots+S_n+60=2S_n
$$
について考える。$S_k=2^k-1$ なので，
$$ S_1+S_2+\cdots+S_n =(2^1-1)+(2^2-1)+\cdots+(2^n-1)
$$
である。これをまとめると，
$$ S_1+S_2+\cdots+S_n =(2+2^2+\cdots+2^n)-n
$$
となる。等比数列の和より
$$ 2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-2
$$
だから，
$$ S_1+S_2+\cdots+S_n=2^{n+1}-2-n
$$
である。
これを条件式に代入すると，
$$ 2^{n+1}-2-n+60=2S_n
$$
である。また $S_n=2^n-1$ より，
$$ 2S_n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2
$$
である。したがって，
$$ 2^{n+1}-2-n+60=2^{n+1}-2
$$
となる。両辺から $2^{n+1}-2$ を引くと，
$$ -n+60=0
$$
より，
$$ n=60
$$
である。
解説
この問題の中心は，$S_n$ をそのまま扱わず，
$$ S_n=2^n-1
$$
と表すことである。
前半は $S_n^2+2S_n+1$ が $(S_n+1)^2$ になることに気づけば，$S_n+1=2^n$ から指数比較だけで終わる。
後半は $S_1+\cdots+S_n$ を直接計算する必要がある。各 $S_k$ を $2^k-1$ として足し合わせると，指数部分が $2+2^2+\cdots+2^n$ になり，定数部分から $-n$ が出る。この $-n$ が最後に残り，$n=60$ が得られる。
答え
$$ [ア]=40,\qquad [イ]=60
$$