基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題16 解説
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解説
方針・初手
等差数列なので、まず初項と末項の関係から公差を求める。
(2) は分母を有理化すると、$\sqrt{a_n}$ の差が現れる。等差数列であることにより $a_n-a_{n+1}$ が一定になるため、和が望遠和になる。
解法1
公差を $d$ とする。
等差数列の一般項は
$$ a_n=p+(n-1)d
$$
である。末項が $q$、項数が $m$ であるから、
$$ a_m=p+(m-1)d=q
$$
より、
$$ d=\frac{q-p}{m-1}
$$
である。
次に、求める和を
$$ S=\sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}
$$
とおく。
各項を有理化すると、
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} &= \frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}}{a_n-a_{n+1}} \end{aligned} $$
となる。
ここで、等差数列の公差は
$$ d=\frac{q-p}{m-1}
$$
であるから、
$$ a_n-a_{n+1}=-d=\frac{p-q}{m-1}
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}} &= \frac{m-1}{p-q}\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}\right) \end{aligned} $$
となる。
よって、
$$ \begin{aligned} S &= \frac{m-1}{p-q} \sum_{n=1}^{m-1} \left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}\right)\\ &= \frac{m-1}{p-q} \left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_m}\right) \end{aligned}
$$
である。
$a_1=p,\ a_m=q$ より、
$$ S= \frac{m-1}{p-q} \left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)
$$
となる。さらに
$$ p-q=(\sqrt{p}-\sqrt{q})(\sqrt{p}+\sqrt{q})
$$
であるから、
$$ S=\frac{m-1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}
$$
である。
解説
この問題の中心は、分母の $\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}$ を有理化して、$\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}$ の形を作ることである。
等差数列では $a_n-a_{n+1}$ が一定なので、有理化後の係数がすべて同じになる。その結果、
$$ (\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})+(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3})+\cdots+(\sqrt{a_{m-1}}-\sqrt{a_m})
$$
の中間項が打ち消され、最初と最後だけが残る。
答え
**(1)**
$$ \frac{q-p}{m-1}
$$
**(2)**
$$ \frac{m-1}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}
$$