解説

方針・初手

（1） は一般項が $\dfrac{k}{2^{k-1}}$ である和である。等比数列の和そのものではないが、全体を $\dfrac{1}{2}$ 倍してずらして引くと、係数部分が消える。

（2） は分母が $n(n+1)(n+2)$ であるため、隣り合う分数の差に分解して、途中項を消去する。

解法1

**(1)**

求める和を

$$ S=\sum_{k=1}^{21}\frac{k}{2^{k-1}}

$$

とおく。これを $\dfrac{1}{2}$ 倍すると

$$ \frac{1}{2}S=\sum_{k=1}^{21}\frac{k}{2^k} =\sum_{k=2}^{22}\frac{k-1}{2^{k-1}}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S-\frac{1}{2}S &=\frac{1}{2^0}+\sum_{k=2}^{21}\frac{k-(k-1)}{2^{k-1}}-\frac{21}{2^{21}}\\ &=\sum_{k=1}^{21}\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{21}{2^{21}}\\ &=\frac{1-\left(\frac12\right)^{21}}{1-\frac12}-\frac{21}{2^{21}}\\ &=2-\frac{1}{2^{20}}-\frac{21}{2^{21}}\\ &=2-\frac{23}{2^{21}}. \end{aligned}

$$

よって

$$ \frac{1}{2}S=2-\frac{23}{2^{21}}

$$

であるから、

$$ S=4-\frac{23}{2^{20}}

$$

を得る。

**(2)**

求める和を

$$ T=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}

$$

とおく。各項について

$$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}

$$

が成り立つ。実際、右辺は

$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)(n+2)}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} T &=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{10}\left\{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{11\cdot12}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{132}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{65}{132}\\ &=\frac{65}{264}. \end{aligned}

$$

解説

（1） のように $k$ が係数として付いた等比型の和は、そのまま等比数列の和の公式を使えない。そこで、全体を公比にあたる $\dfrac{1}{2}$ 倍して、元の和との差を取る。この操作により、係数 $k$ と $k-1$ の差が $1$ になり、通常の等比数列の和に帰着できる。

（2） は、分母が連続する $3$ つの整数の積になっていることに注目する。直接通分して足すのではなく、

$$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}

$$

と変形すると、途中の項がすべて打ち消し合い、最初と最後だけが残る。

答え

**(1)**

$$ 4-\frac{23}{2^{20}}

$$

**(2)**

$$ \frac{65}{264}

$$