解説

方針・初手

係数

$$ \frac{1}{k(k-1)}

$$

は部分分数分解して

$$ \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}

$$

と書ける。これを用いると、隣り合う $S_k$ の差が現れる形に変形できる。

解法1

左辺を $A$ とおく。

$$ A=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}S_k

$$

である。部分分数分解より、

$$ A=\sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)S_k

$$

となる。これを分けて書くと、

$$ A=\sum_{k=2}^{n}\frac{S_k}{k-1}-\sum_{k=2}^{n}\frac{S_k}{k}

$$

である。

第1項の添字をそろえるため、$k$ を $k+1$ とずらすと、

$$ \sum_{k=2}^{n}\frac{S_k}{k-1} =\sum_{k=1}^{n-1}\frac{S_{k+1}}{k}

$$

である。したがって、

$$ A=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{S_{k+1}}{k}-\sum_{k=2}^{n}\frac{S_k}{k}

$$

となる。ここで、両方の和に共通して現れる $k=2,\dots,n-1$ の部分をまとめると、

$$ A=S_2+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{S_{k+1}-S_k}{k}-\frac{S_n}{n}

$$

である。

また、

$$ S_{k+1}-S_k=\frac{1}{k+1}

$$

だから、

$$ A=S_2+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}-\frac{S_n}{n}

$$

となる。ここで $S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ であり、

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

$$

より、

$$ \sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} =\sum_{k=2}^{n-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{n}

$$

である。よって、

$$ A=\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)-\frac{S_n}{n}

$$

となり、

$$ A=2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}S_n

$$

を得る。

したがって、

$$ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}S_k =2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}S_n

$$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、係数 $\frac{1}{k(k-1)}$ を部分分数分解し、差の形にすることである。単に $S_k$ を展開して処理しようとすると二重和になりやすいが、部分分数分解を使うと、$S_{k+1}-S_k=\frac{1}{k+1}$ が自然に現れる。

また、最後に出てくる

$$ \sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)}

$$

も望遠和になるため、全体として望遠和を2回使う構造になっている。

答え

$n\geqq 2$ のとき、

$$ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}S_k =2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}S_n

$$

が成り立つ。