基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題20 解説
数学Bの数列「数列の和」にある問題20の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$S_n$ は $1$ から $n$ までの和なので、等差数列の和の公式を用いる。
また、$S_n$ の $1$ の位が $0$ であることは、$S_n$ が $10$ の倍数であることと同じである。したがって、
$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
について、これが $10$ の倍数となる $n$ を調べる。
解法1
$1$ から $n$ までの和は、初項 $1$、末項 $n$、項数 $n$ の等差数列の和であるから、
$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
である。
したがって、
$$ S_{20}=\frac{20\cdot 21}{2}=210
$$
である。
次に、$S_n$ の $1$ の位が $0$ である条件を考える。これは
$$ \frac{n(n+1)}{2}\equiv 0 \pmod{10}
$$
であることと同値である。
すなわち、
$$ n(n+1)\equiv 0 \pmod{20}
$$
を満たせばよい。
$n$ を $20$ で割った余りで調べる。$S_n$ の $1$ の位は $n$ を $20$ で割った余りによって周期的に決まるので、$n=1,2,\dots,20$ について確認する。
$$ \begin{aligned} S_1&=1,\\ S_2&=3,\\ S_3&=6,\\ S_4&=10,\\ S_5&=15,\\ S_6&=21,\\ S_7&=28,\\ S_8&=36,\\ S_9&=45,\\ S_{10}&=55,\\ S_{11}&=66,\\ S_{12}&=78,\\ S_{13}&=91,\\ S_{14}&=105,\\ S_{15}&=120,\\ S_{16}&=136,\\ S_{17}&=153,\\ S_{18}&=171,\\ S_{19}&=190,\\ S_{20}&=210 \end{aligned}
$$
この中で $1$ の位が $0$ であるのは、
$$ n=4,15,19,20
$$
である。
よって、$20$ 個ごとに条件を満たす $n$ は $4$ 個ある。
ここで、
$$ 2009=20\cdot 100+9
$$
である。
$1$ から $2000$ までには $20$ 個のまとまりが $100$ 個あるので、条件を満たす $n$ は
$$ 4\cdot 100=400
$$
個ある。
残りの $2001$ から $2009$ までについては、$20$ で割った余りが $1,2,\dots,9$ の場合を見ればよい。この中で条件を満たすのは余り $4$ の場合だけである。
したがって、追加で $1$ 個ある。
よって、求める個数は
$$ 400+1=401
$$
である。
解説
この問題では、まず $S_n$ を三角数
$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
として表すことが基本である。
そのうえで、$1$ の位だけを考えるので、$10$ を法とする周期性を利用する。ただし、式に $\frac{1}{2}$ が含まれるため、直接 $10$ で割った余りを考えるよりも、
$$ n(n+1)\equiv 0 \pmod{20}
$$
として扱うと条件が整理しやすい。
また、$S_n$ の $1$ の位は $20$ 周期になるので、$n=1$ から $20$ までを調べれば十分である。
答え
$$ S_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
$$ S_{20}=210
$$
$$ 401
$$