解説

方針・初手

(1) は分母が連続する3数の積になっているので、部分分数分解して望遠和にする。

(2) は (1) の結果を利用する。$k \geqq 2$ では $k^3$ と $(k-1)k(k+1)$ を比較することで、$\dfrac{1}{k^3}$ を (1) の形で上からおさえる。

解法1

(1) について考える。

一般項は、$k=2,3,\dots,n$ として

$$ \frac{1}{(k-1)k(k+1)}

$$

である。これを部分分数分解すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{(k-1)k} &= \frac{1}{k(k+1)} \right\} \end{aligned} $$

となる。実際、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(k-1)k} &= \frac{1}{k(k+1)} \\ \frac{k+1-(k-1)}{(k-1)k(k+1)} \\ \frac{2}{(k-1)k(k+1)} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} &\frac{1}{1\cdot2\cdot3} +\frac{1}{2\cdot3\cdot4} +\cdots +\frac{1}{(n-1)n(n+1)} \\ &= \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{n} \left\{ \frac{1}{(k-1)k} &=

\frac{1}{k(k+1)} \right\}. \end{aligned}

$$

ここで和を展開すると、中間の項が消えて

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \left\{ \frac{1}{(k-1)k} &=

\frac{1}{k(k+1)} \right\} &= \left( \frac{1}{1\cdot2} &=

\frac{1}{2\cdot3} \right) \\ &\quad+ \left( \frac{1}{2\cdot3} &=

\frac{1}{3\cdot4} \right) \\ &\quad+\cdots+ \left( \frac{1}{(n-1)n} &=

\frac{1}{n(n+1)} \right) \\ &= \frac{1}{2} &=

\frac{1}{n(n+1)}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2} &=

\frac{1}{n(n+1)} \right\} \\ &= \frac{1}{4} &=

\frac{1}{2n(n+1)}. \end{aligned}

$$

したがって、求める和は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4} &= \frac{1}{2n(n+1)} \end{aligned} $$

である。

次に (2) を示す。

$n=1$ のとき、

$$ \frac{1}{1^3}=1<\frac{5}{4}

$$

である。

$n \geqq 2$ とする。$k \geqq 2$ のとき、

$$ (k-1)k(k+1)=k^3-k<k^3

$$

であるから、正の数の逆数の大小より

$$ \frac{1}{k^3} < \frac{1}{(k-1)k(k+1)}

$$

が成り立つ。

したがって、

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^3} = 1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^3} < 1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-1)k(k+1)}.

$$

(1) の結果より、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} &= \frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-1)k(k+1)} &= 1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)} < \frac{5}{4}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\cdots +\frac{1}{n^3} < \frac{5}{4}

$$

が成り立つ。

解説

連続する3数の積が分母にあるときは、隣り合う分数の差に分解すると望遠和になることが多い。

(2) では、直接 $\dfrac{1}{k^3}$ の和を求めようとしないことが重要である。$k \geqq 2$ に対して

$$ (k-1)k(k+1)<k^3

$$

であるため、

$$ \frac{1}{k^3} < \frac{1}{(k-1)k(k+1)}

$$

と評価できる。この形にすれば (1) の結果をそのまま利用できる。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{1\cdot2\cdot3} +\frac{1}{2\cdot3\cdot4} +\cdots +\frac{1}{(n-1)n(n+1)} =\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}

$$

**(2)**

$$ \frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\cdots +\frac{1}{n^3} < \frac{5}{4}

$$

が成り立つ。