解説

方針・初手

各項の分母は $3$ ずつずれた $3$ つの因数の積である。そこで、隣り合う形が打ち消し合うように部分分数分解する。

一般項を

$$ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)}

$$

とおいて処理すればよい。

解法1

第 $k$ 項を

$$ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)}

$$

とする。

ここで

$$ \begin{aligned} &\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} -\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \\ &= \frac{(3k+4)-(3k-2)}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)} \\ &= \frac{6}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)} \end{aligned}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)} &= \frac{1}{6} \left\{ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} -\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、求める和を $S$ とすると、

$$ \begin{aligned} S &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)(3k+4)} \\ &= \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n} \left\{ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} -\frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \right\} \end{aligned}

$$

である。

実際に並べると、

$$ \begin{aligned} S =

\frac{1}{6} \left\{ \frac{1}{1\cdot 4} -\frac{1}{4\cdot 7} +\frac{1}{4\cdot 7} -\frac{1}{7\cdot 10} +\cdots +\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} -\frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \right\} \end{aligned}

$$

となる。

中間の項はすべて打ち消し合うので、

$$ S =

\frac{1}{6} \left\{ \frac{1}{1\cdot 4} -\frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \right\}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} S = \\ \frac{1}{24} \\ \frac{1}{6(3n+1)(3n+4)} \end{aligned} $$

となる。これを1つの分数にまとめると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{(3n+1)(3n+4)-4}{24(3n+1)(3n+4)} \\ &= \frac{9n^2+15n}{24(3n+1)(3n+4)} \\ &= \frac{n(3n+5)}{8(3n+1)(3n+4)} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題は、分母が

$$ (3k-2)(3k+1)(3k+4)

$$

のように等差的に並んでいるため、部分分数分解によって望遠和にするのが自然である。

重要なのは、3つの因数を一度に分解しようとするのではなく、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} &= \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} \end{aligned} $$

の差を作ることである。この差を取ると分子に $6$ が出るため、元の項はその $\frac{1}{6}$ 倍として表せる。

この形にできれば、隣り合う項が次々に打ち消し合い、最初と最後だけが残る。

答え

$$ \boxed{ \frac{1}{24}-\frac{1}{6(3n+1)(3n+4)} }

$$

または、整理して

$$ \boxed{ \frac{n(3n+5)}{8(3n+1)(3n+4)} }

$$