解説

方針・初手

数列の各項は $2,6,12,20,30,42,\cdots$ であり、隣り合う項の差は $4,6,8,10,12,\cdots$ となる。これは $n(n+1)$ 型の数列であると見抜くのが初手である。

その後、和 $S_n$ を求め、(2)(3) は部分分数分解によって望遠和にする。

解法1

第 $n$ 項を $a_n$ とする。与えられた数列は

$$ 2=1\cdot 2,\quad 6=2\cdot 3,\quad 12=3\cdot 4,\quad 20=4\cdot 5

$$

と表せるので、

$$ a_n=n(n+1)

$$

である。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)

$$

である。これを展開すると、

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k) =\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k

$$

となる。公式

$$ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3n(n+1)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}

$$

である。

次に、(2) を求める。$a_k=k(k+1)$ であるから、

$$ \frac{1}{a_k}=\frac{1}{k(k+1)}

$$

である。ここで

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

$$

と部分分数分解できる。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k} &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\\ &=\frac{n}{n+1} \end{aligned}

$$

となる。

最後に、(3) を求める。先ほど求めた

$$ S_k=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}

$$

を用いると、

$$ \frac{1}{S_k}=\frac{3}{k(k+1)(k+2)}

$$

である。ここで

$$ \frac{3}{k(k+1)(k+2)} =\frac{3}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}

$$

と変形できる。実際、

$$ \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} =\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)} =\frac{2}{k(k+1)(k+2)}

$$

であるから、両辺に $\frac{3}{2}$ をかければよい。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{S_k} &=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{k(k+1)(k+2)}\\ &=\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}\\ &=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\\ &=\frac{3}{4}-\frac{3}{2(n+1)(n+2)} \end{aligned}

$$

となる。これを一つの分数にまとめると、

$$ \begin{aligned} \frac{3}{4}-\frac{3}{2(n+1)(n+2)} &=\frac{3(n+1)(n+2)-6}{4(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{3{(n+1)(n+2)-2}}{4(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{3(n^2+3n)}{4(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{3n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、与えられた数列を $a_n=n(n+1)$ と見抜くことである。第 $n$ 項が分かれば、$S_n$ は基本的な和の公式で求められる。

(2) は

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

$$

という典型的な部分分数分解で処理する。

(3) では $S_k$ が $k(k+1)(k+2)$ を含む形になるため、

$$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}

$$

をそのまま扱うのではなく、隣り合う分数の差に直すことが重要である。望遠和になる形を作れば、途中の項が消えて最初と最後だけが残る。

答え

**(1)**

$$ a_n=n(n+1),\quad S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}

$$

**(2)**

$$ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n} =\frac{n}{n+1}

$$

**(3)**

$$ \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+\cdots+\frac{1}{S_n} =\frac{3n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}

$$