基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題28 解説
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解説
方針・初手
部分和 $S_n$ が与えられているので、一般項は隣り合う部分和の差で求める。
$n \geqq 2$ では
$$ a_n=S_n-S_{n-1}
$$
を用いる。ただし、初項 $a_1$ は $S_1$ そのものである。
解法1
$n \geqq 2$ のとき、
$$ a_n=S_n-S_{n-1}
$$
である。
与えられた式より、
$$ S_n=n^2+n+1
$$
であり、
$$ S_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)+1
$$
である。これを整理すると、
$$ \begin{aligned} S_{n-1} &=n^2-2n+1+n-1+1 \\ &=n^2-n+1 \end{aligned}
$$
したがって、
$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1} \\ &=(n^2+n+1)-(n^2-n+1) \\ &=2n \end{aligned}
$$
よって、
$$ a_n=2n \quad (n \geqq 2)
$$
である。
また、初項 $a_1$ は初項から第 $1$ 項までの和なので、
$$ a_1=S_1
$$
である。したがって、
$$ S_1=1^2+1+1=3
$$
より、
$$ a_1=3
$$
である。
解説
部分和 $S_n$ が与えられた数列では、$n \geqq 2$ の一般項は $S_n-S_{n-1}$ で求めるのが基本である。
ただし、$a_1$ だけは $S_1-S_0$ として処理するのではなく、$S_1=a_1$ として直接求める。この問題では、$n \geqq 2$ の式 $a_n=2n$ に $n=1$ を代入すると $2$ になるが、実際の初項は $3$ であるため、初項は別に扱う必要がある。
答え
$$ a_n=2n \quad (n \geqq 2)
$$
$$ a_1=3
$$