解説

方針・初手

係数が $1,2,3,\ldots,n$ と変化し、指数が $0,1,2,\ldots,n-1$ と増えていく和である。このような和は、全体を $S$ とおき、$xS$ とずらして差をとると係数がそろって処理できる。

解法1

求める和を

$$ S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}

$$

とおく。

両辺に $x$ をかけると、

$$ xS=x+2x^2+3x^3+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n

$$

である。したがって、$S-xS$ を計算すると、中間の項の係数が $1$ ずつ残り、

$$ \begin{aligned} S-xS &=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n \\ &=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n \end{aligned}

$$

となる。ここで $x\neq 1$ より、等比数列の和の公式を用いることができる。

よって、

$$ (1-x)S=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n

$$

である。右辺を通分すると、

$$ \begin{aligned} (1-x)S &=\frac{1-x^n-nx^n(1-x)}{1-x} \\ &=\frac{1-x^n-nx^n+nx^{n+1}}{1-x} \\ &=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{1-x} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ S=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}

$$

である。

解法2

等比数列の和

$$ 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}

$$

を利用する。

両辺を $x$ で微分すると、左辺は

$$ 0+1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}

$$

となる。これは求める和そのものである。

したがって、

$$ S=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)

$$

である。商の微分を用いると、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{-(n+1)x^n(1-x)-(1-x^{n+1})(-1)}{(1-x)^2} \\ &=\frac{-(n+1)x^n+(n+1)x^{n+1}+1-x^{n+1}}{(1-x)^2} \\ &=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \end{aligned}

$$

よって、

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} =\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}

$$

である。

解説

この問題は、等比数列に一次的な係数がついた和であり、典型的には「$S$ とおいて $xS$ を引く」か、「等比数列の和を微分する」ことで処理する。

解法1は高校数学の範囲で最も標準的で、$x\neq 1$ という条件も自然に使える。解法2は微分を使える場面では短く処理できるが、等比数列の和を微分してよいことを理解している必要がある。

答え

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} =\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}

$$