解説

方針・初手

$y$ を固定して、条件をみたす $x$ の個数を数える。

条件

$$ x<y<k<x+y

$$

のうち、$y<k$ より $y$ は $2,3,\ldots,k-1$ の範囲を動く。さらに $k<x+y$ より

$$ x>k-y

$$

であるから、$x$ は

$$ k-y+1 \leqq x \leqq y-1

$$

をみたす自然数である。この個数を $y$ ごとに足し上げればよい。

解法1

$y$ を固定する。$x<y$ かつ $k<x+y$ より、$x$ は

$$ k-y+1 \leqq x \leqq y-1

$$

をみたす。

この範囲に自然数 $x$ が存在するためには

$$ k-y+1 \leqq y-1

$$

すなわち

$$ y \geqq \frac{k+2}{2}

$$

が必要十分である。

このとき、$x$ の個数は

$$ (y-1)-(k-y+1)+1=2y-k-1

$$

である。

まず $k=2n-1$ の場合を考える。このとき

$$ y \geqq \frac{2n+1}{2}

$$

より、$y$ の範囲は

$$ n+1 \leqq y \leqq 2n-2

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} a_{2n-1} &=\sum_{y=n+1}^{2n-2}{2y-(2n-1)-1} \\ &=\sum_{y=n+1}^{2n-2}(2y-2n). \end{aligned}

$$

ここで $y=n+1,n+2,\ldots,2n-2$ と動くと、$2y-2n$ は

$$ 2,4,\ldots,2n-4

$$

となる。よって

$$ a_{2n-1}=2(1+2+\cdots+(n-2))=(n-1)(n-2).

$$

$n=1,2$ のときも条件をみたす組は存在せず、右辺も $0$ となるので、この式はそのまま成り立つ。

次に $k=2n$ の場合を考える。このとき

$$ y \geqq \frac{2n+2}{2}=n+1

$$

より、$y$ の範囲は

$$ n+1 \leqq y \leqq 2n-1

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} a_{2n} &=\sum_{y=n+1}^{2n-1}(2y-2n-1). \end{aligned}

$$

ここで $y=n+1,n+2,\ldots,2n-1$ と動くと、$2y-2n-1$ は

$$ 1,3,5,\ldots,2n-3

$$

となる。よって

$$ a_{2n}=1+3+5+\cdots+(2n-3)=(n-1)^2.

$$

したがって

$$ a_{2n-1}=(n-1)(n-2),\qquad a_{2n}=(n-1)^2

$$

である。

これを用いて、$a_7,a_8$ を求める。

$$ 7=2\cdot4-1

$$

より

$$ a_7=(4-1)(4-2)=6.

$$

また

$$ 8=2\cdot4

$$

より

$$ a_8=(4-1)^2=9.

$$

最後に

$$ \sum_{k=1}^{2n}a_k

$$

を求める。

奇数番目と偶数番目を組にして足すと

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &=\sum_{m=1}^{n}\left(a_{2m-1}+a_{2m}\right) \\ &=\sum_{m=1}^{n}\left\{(m-1)(m-2)+(m-1)^2\right\} \\ &=\sum_{m=1}^{n}(m-1)(2m-3). \end{aligned}

$$

$j=m-1$ とおくと、$m=1,2,\ldots,n$ に対して $j=0,1,\ldots,n-1$ であるから

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n}a_k &=\sum_{j=0}^{n-1}j(2j-1) \\ &=2\sum_{j=0}^{n-1}j^2-\sum_{j=0}^{n-1}j \\ &=2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-\frac{n(n-1)}{2} \\ &=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6}. \end{aligned}

$$

解説

この問題では、$x,y$ を同時に動かして数えようとすると条件が見えにくい。$y$ を固定すると、$x$ の範囲が

$$ k-y+1 \leqq x \leqq y-1

$$

という連続した整数の範囲になるため、個数を直接数えられる。

また、$k$ が奇数か偶数かで $y$ の下限が変わるため、$a_{2n-1}$ と $a_{2n}$ を分けて考えるのが自然である。最後の和は、奇数番目と偶数番目を組にして足すことで計算が簡単になる。

答え

**(1)**

$$ a_7=6,\qquad a_8=9

$$

**(2)**

$$ a_{2n-1}=(n-1)(n-2),\qquad a_{2n}=(n-1)^2

$$

**(3)**

$$ \sum_{k=1}^{2n}a_k=\frac{n(n-1)(4n-5)}{6}

$$