基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題39 解説
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解説
方針・初手
複利の問題では、金額の条件を指数不等式に直し、常用対数をとって年数を求める。ここでは $1.05=\dfrac{21}{20}$ と表せるので、与えられた $\log_{10}2,\log_{10}3,\log_{10}5,\log_{10}7$ を用いて $\log_{10}1.05$ を求めるのが初手である。
解法1
まず、
$$ 1.05=\frac{105}{100}=\frac{21}{20}=\frac{3\cdot 7}{2^2\cdot 5}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \log_{10}1.05 &=\log_{10}\frac{3\cdot 7}{2^2\cdot 5} \\ &=\log_{10}3+\log_{10}7-2\log_{10}2-\log_{10}5 \\ &=0.477+0.845-2\cdot 0.301-0.699 \\ &=1.322-1.301 \\ &=0.021 \end{aligned}
$$
したがって、
$$ \log_{10}1.05=0.021
$$
である。
次に、元利合計が初めて $2000$ 万円を超える年数を求める。$n$ 年後の金額は
$$ 1000(1.05)^n
$$
万円であるから、
$$ 1000(1.05)^n>2000
$$
となればよい。これより、
$$ (1.05)^n>2
$$
である。
両辺の常用対数をとると、
$$ n\log_{10}1.05>\log_{10}2
$$
である。よって、
$$ 0.021n>0.301
$$
となるから、
$$ n>\frac{0.301}{0.021}=14.333\cdots
$$
である。したがって、最小の整数 $n$ は
$$ n=15
$$
である。
次に、毎年の始めに $200$ 万円ずつ積み立てる場合を考える。
2011年の始めに積み立てた $200$ 万円は、2011年の終わりには $200\cdot 1.05$ 万円になる。2012年の始めに積み立てた $200$ 万円は、2012年の終わりには $200\cdot 1.05$ 万円になる。
したがって、積立開始から $m$ 年目の終わりにおける元利合計は
$$ 200(1.05)^m+200(1.05)^{m-1}+\cdots+200(1.05)
$$
である。これは等比数列の和であるから、
$$ \begin{aligned} 200{1.05+1.05^2+\cdots+1.05^m} &=200\cdot \frac{1.05{(1.05)^m-1}}{1.05-1} \\ &=200\cdot \frac{1.05{(1.05)^m-1}}{0.05} \\ &=4200{(1.05)^m-1} \end{aligned}
$$
万円である。
これが初めて $3000$ 万円を超える条件は
$$ 4200{(1.05)^m-1}>3000
$$
である。これを整理すると、
$$ (1.05)^m-1>\frac{3000}{4200}=\frac{5}{7}
$$
より、
$$ (1.05)^m>\frac{12}{7}
$$
である。
両辺の常用対数をとると、
$$ m\log_{10}1.05>\log_{10}\frac{12}{7}
$$
である。ここで、
$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{12}{7} &=\log_{10}\frac{2^2\cdot 3}{7} \\ &=2\log_{10}2+\log_{10}3-\log_{10}7 \\ &=2\cdot 0.301+0.477-0.845 \\ &=0.234 \end{aligned}
$$
であるから、
$$ 0.021m>0.234
$$
となる。よって、
$$ m>\frac{0.234}{0.021}=11.142\cdots
$$
である。
したがって、最小の整数 $m$ は
$$ m=12
$$
である。
1回目の積立を2011年の始めにしているので、1年目の終わりは2011年の終わり、12年目の終わりは
$$ 2011+12-1=2022
$$
年の終わりである。
解説
この問題の中心は、複利の式を指数不等式に直し、常用対数で年数を求めることである。
特に積立の問題では、各年の始めに積み立てるため、年末にはその年の積立分にも1年分の利息がつく。したがって、$m$ 年目の終わりの金額は
$$ 200(1.05)+200(1.05)^2+\cdots+200(1.05)^m
$$
となる。ここを
$$ 200+200(1.05)+\cdots
$$
のようにしてしまうと、1年分ずれて誤答になる。
答え
**(1)**
$$ \boxed{0.021}
$$
**(2)**
$$ \boxed{15}
$$
年後
**(3)**
$$ \boxed{2022}
$$
年の終わり