解説

方針・初手

数列 $2,6,12,20,\cdots$ は、各項が $1\cdot 2,2\cdot 3,3\cdot 4,4\cdot 5,\cdots$ と見られるので、まず一般項を $n(n+1)$ と表す。

その後、逆数の数列では部分分数分解、根号を含む数列では有理化によって、和が打ち消し合う形に変形する。

解法1

数列 ${a_n}$ は

$$ 2=1\cdot 2,\quad 6=2\cdot 3,\quad 12=3\cdot 4,\quad 20=4\cdot 5

$$

であるから、一般項は

$$ a_n=n(n+1)

$$

である。したがって

$$ [\text{ア}]=n(n+1)

$$

である。

次に、初項から第 $n$ 項までの和を求める。

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)

$$

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k(k+1) &=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)\\ &=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}

$$

よって、和は $\dfrac{[\text{イ}]}{3}$ と表されるから、

$$ [\text{イ}]=n(n+1)(n+2)

$$

である。

次に、数列 ${b_n}$ は

$$ b_n=\frac{1}{a_n}

$$

であるから、

$$ b_n=\frac{1}{n(n+1)}

$$

となる。したがって

$$ [\text{ウ}]=\frac{1}{n(n+1)}

$$

である。

この和を求めるために、部分分数分解を用いる。

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}b_k &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\\ &=\frac{n}{n+1} \end{aligned}

$$

よって、

$$ [\text{エ}]=\frac{n}{n+1}

$$

である。

次に、数列 ${c_n}$ は

$$ \frac{1}{\sqrt{2}+1},\quad \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},\quad \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}},\cdots

$$

である。第 $n$ 項の分母は、$n=1$ のとき $\sqrt{2}+\sqrt{1}$、$n=2$ のとき $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ となるので、

$$ c_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

$$

である。したがって、

$$ [\text{オ}]=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}

$$

である。

この和を求めるために、有理化する。

$$ \begin{aligned} c_n &=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ &=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\\ &=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{aligned}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}c_k &=\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\\ &=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\ &=\sqrt{n+1}-1 \end{aligned}

$$

したがって、

$$ [\text{カ}]=\sqrt{n+1}-1

$$

である。

解説

この問題は、3つの数列すべてで「形を見抜いて、和が計算しやすい形に直す」ことが中心である。

${a_n}$ は積の形 $n(n+1)$ と見抜くことが第一段階である。和は公式

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

を使えば処理できる。

${b_n}$ は逆数をとることで

$$ \frac{1}{n(n+1)}

$$

となるため、部分分数分解による打ち消しを使う。

${c_n}$ は分母に根号の和があるので、有理化によって

$$ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

$$

と変形する。これにより、隣り合う項が次々に消える和になる。

答え

$$ [\text{ア}]=n(n+1)

$$

$$ [\text{イ}]=n(n+1)(n+2)

$$

$$ [\text{ウ}]=\frac{1}{n(n+1)}

$$

$$ [\text{エ}]=\frac{n}{n+1}

$$

$$ [\text{オ}]=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}

$$

$$ [\text{カ}]=\sqrt{n+1}-1

$$