解説

方針・初手

等比数列の和、微分、添字のずらしを使って各空欄を求める。特に $S_n^{(3)}$ では、$rS_n^{(3)}$ の添字をずらして $S_n^{(3)}-rS_n^{(3)}$ を作ると、$S_n^{(2)}$ と $S_n^{(1)}$ に帰着できる。

解法1

まず （1） について、$r=\dfrac12$ のとき

$$ S_{10}^{(1)}=\sum_{k=1}^{10}\left(\frac12\right)^k =\frac{\frac12\left\{1-\left(\frac12\right)^{10}\right\}}{1-\frac12} =1-\frac1{2^{10}} =\frac{1023}{1024}

$$

である。よって

$$ \boxed{\text{ア}=1023,\quad \text{イ}=1024}

$$

である。

次に （2） を求める。

$$ S_n^{(2)}=r+2r^2+3r^3+\cdots+nr^n

$$

であり、

$$ \frac{dS_{n+1}^{(1)}}{dr} =\frac{d}{dr}\left(r+r^2+\cdots+r^{n+1}\right) =1+2r+3r^2+\cdots+(n+1)r^n

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S_n^{(2)}-\frac{dS_{n+1}^{(1)}}{dr} &=(r+2r^2+\cdots+nr^n) \\ &\quad -(1+2r+3r^2+\cdots+(n+1)r^n) \\ &=-(1+r+r^2+\cdots+r^n) \\ &=-\frac{1-r^{n+1}}{1-r} \\ &=\frac{r^{n+1}-1}{1-r} \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ \boxed{\text{ウ}=r^{n+1}-1}

$$

である。

次に （3） を考える。まず

$$ rS_n^{(3)} =\sum_{k=1}^{n}k^2r^{k+1} =\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)^2r^k

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_n^{(3)}-rS_n^{(3)} &=\sum_{k=1}^{n}k^2r^k-\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)^2r^k \\ &=\sum_{k=1}^{n}{k^2-(k-1)^2}r^k-n^2r^{n+1} \end{aligned}

$$

となる。したがって

$$ \boxed{\text{エ}=n^2r^{n+1}}

$$

である。

また、

$$ k^2-(k-1)^2=2k-1

$$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^{n}{k^2-(k-1)^2}r^k =\sum_{k=1}^{n}(2k-1)r^k =2S_n^{(2)}-S_n^{(1)}

$$

である。よって

$$ S_n^{(3)}-rS_n^{(3)} =2S_n^{(2)}-S_n^{(1)}-n^2r^{n+1}

$$

となるので、

$$ \boxed{\text{オ}=2}

$$

である。

同様に、

$$ rS_n^{(2)} =\sum_{k=1}^{n}kr^{k+1} =\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)r^k

$$

より、

$$ \begin{aligned} S_n^{(2)}-rS_n^{(2)} &=\sum_{k=1}^{n}kr^k-\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)r^k \\ &=\sum_{k=1}^{n}{k-(k-1)}r^k-nr^{n+1} \\ &=S_n^{(1)}-nr^{n+1} \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ \boxed{\text{カ}=nr^{n+1}}

$$

である。

ここから

$$ (1-r)S_n^{(2)}=S_n^{(1)}-nr^{n+1}

$$

より、

$$ S_n^{(2)}=\frac{S_n^{(1)}-nr^{n+1}}{1-r}

$$

である。また、

$$ (1-r)S_n^{(3)} =2S_n^{(2)}-S_n^{(1)}-n^2r^{n+1}

$$

にこれを代入すると、

$$ \begin{aligned} (1-r)S_n^{(3)} &=2\cdot \frac{S_n^{(1)}-nr^{n+1}}{1-r} -S_n^{(1)}-n^2r^{n+1} \\ &=\frac{2S_n^{(1)}-2nr^{n+1}-(1-r)S_n^{(1)}-n^2(1-r)r^{n+1}}{1-r} \\ &=\frac{(1+r)S_n^{(1)}-{2n+n^2(1-r)}r^{n+1}}{1-r} \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ S_n^{(3)} =\frac{1+r}{(1-r)^2}S_n^{(1)} -\frac{n^2(1-r)+2n}{(1-r)^2}r^{n+1}

$$

となる。よって

$$ \boxed{\text{キ}=1+r,\quad \text{ク}=n^2(1-r)+2n}

$$

である。

最後に、$0<r<1$ のとき

$$ S_n^{(1)} =\sum_{k=1}^{n}r^k =\frac{r(1-r^n)}{1-r} \to \frac{r}{1-r} \quad (n\to\infty)

$$

である。また $0<r<1$ だから $a=\dfrac1r>1$ とおくと、

$$ n^2r^{n+1} =\frac{n^2}{(1/r)^{n+1}}

$$

であり、与えられた極限公式から

$$ n^2r^{n+1}\to 0

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n^{(3)} &=\frac{1+r}{(1-r)^2}\cdot \frac{r}{1-r} \\ &=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3} \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3}}

$$

である。

解説

$S_n^{(2)}$ や $S_n^{(3)}$ は、直接和の公式を覚えていなくても、$rS_n^{(2)}$ や $rS_n^{(3)}$ を作って添字をずらすことで求められる。

特に

$$ S_n^{(3)}-rS_n^{(3)}

$$

を作ると、係数が

$$ k^2-(k-1)^2=2k-1

$$

となり、$S_n^{(2)}$ と $S_n^{(1)}$ に落とせる。この処理が本問の中心である。

有限和では、最後にずらしで余った項が出るため、$-n^2r^{n+1}$ や $-nr^{n+1}$ を落とさないことが重要である。

答え

**(1)**

$$ \text{ア}=1023,\quad \text{イ}=1024

$$

**(2)**

$$ \text{ウ}=r^{n+1}-1

$$

**(3)**

$$ \text{エ}=n^2r^{n+1},\quad \text{オ}=2,\quad \text{カ}=nr^{n+1}

$$

$$ \text{キ}=1+r,\quad \text{ク}=n^2(1-r)+2n,\quad \text{ケ}=\frac{r(1+r)}{(1-r)^3}

$$