解説

方針・初手

積分を実行すると右辺は $x$ の2次式になる。左辺も $x$ の2次式であり、等式がすべての実数 $x$ で成り立つので、$x^2$ の係数と $x$ の係数を比較すればよい。

解法1

右辺を計算する。自然数 $n$ に対して、

$$ \begin{aligned} \int_{c_n}^{x+c_n}(a_nt+b_n),dt &=\left[\frac{a_n}{2}t^2+b_nt\right]_{c_n}^{x+c_n} \\ &=\frac{a_n}{2}{(x+c_n)^2-c_n^2}+b_n{(x+c_n)-c_n} \\ &=\frac{a_n}{2}x^2+(a_nc_n+b_n)x \end{aligned}

$$

である。

一方、左辺は

$$ x(a_{n+1}x+b_{n+1})=a_{n+1}x^2+b_{n+1}x

$$

である。これがすべての実数 $x$ について成り立つから、係数比較により

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n,\qquad b_{n+1}=b_n+a_nc_n

$$

を得る。

まず $a_1=5$ より、${a_n}$ は公比 $\dfrac12$ の等比数列である。したがって

$$ a_n=5\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{5}{2^{n-1}}

$$

である。

次に $b_n$ について考える。上で得た漸化式から

$$ b_{n+1}-b_n=a_nc_n

$$

であるから、$n\geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} b_n &=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_kc_k \\ &=7+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{5}{2^{k-1}}c_k \end{aligned}

$$

となる。

**(2)**

$c_n=3^{n-1}$ のとき、$c_k=3^{k-1}$ であるから

$$ \begin{aligned} b_n &=7+5\sum_{k=1}^{n-1}\frac{3^{k-1}}{2^{k-1}} \\ &=7+5\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac32\right)^{k-1} \end{aligned}

$$

である。

$n=1$ のとき和は空和であり、以下の式はその場合も成り立つ。等比数列の和より

$$ \begin{aligned} b_n &=7+5\cdot \frac{\left(\frac32\right)^{n-1}-1}{\frac32-1} \\ &=7+10\left\{\left(\frac32\right)^{n-1}-1\right\} \\ &=10\left(\frac32\right)^{n-1}-3 \end{aligned}

$$

である。

**(3)**

$c_n=n$ のとき、$c_k=k$ であるから

$$ b_n=7+5\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^{k-1}}

$$

である。

ここで

$$ S_m=\sum_{k=1}^{m}\frac{k}{2^{k-1}}

$$

とおく。$m\geqq 1$ のとき、

$$ S_m=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{m}{2^{m-1}}

$$

であり、

$$ \frac12S_m=\frac12+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{m}{2^m}

$$

である。よって差をとると

$$ \begin{aligned} \frac12S_m &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{m-1}}-\frac{m}{2^m} \\ &=\frac{1-\left(\frac12\right)^m}{1-\frac12}-\frac{m}{2^m} \\ &=2-\frac{2}{2^m}-\frac{m}{2^m} \\ &=2-\frac{m+2}{2^m} \end{aligned}

$$

したがって

$$ S_m=4-\frac{m+2}{2^{m-1}}

$$

である。ここで $m=n-1$ とすれば

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^{k-1}} =4-\frac{n+1}{2^{n-2}}

$$

である。この式は $n=1$ のときも左辺を空和 $0$ と見れば成り立つ。

したがって

$$ \begin{aligned} b_n &=7+5\left(4-\frac{n+1}{2^{n-2}}\right) \\ &=27-\frac{5(n+1)}{2^{n-2}} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、積分で定義された関係式を $x$ の恒等式として見ることである。すべての実数 $x$ に対して成り立つので、両辺を $x$ の多項式として整理し、係数比較を行う。

$a_n$ は $c_n$ によらず

$$ a_{n+1}=\frac12a_n

$$

だけで決まる。一方、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=b_n+a_nc_n

$$

で決まるため、$c_n$ の形に応じて和を計算する必要がある。

$c_n=3^{n-1}$ の場合は等比数列の和、$c_n=n$ の場合は等差数列と等比数列を掛けた形の和を処理する問題になる。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{5}{2^{n-1}}

$$

**(2)**

$c_n=3^{n-1}$ のとき、

$$ b_n=10\left(\frac32\right)^{n-1}-3

$$

**(3)**

$c_n=n$ のとき、

$$ b_n=27-\frac{5(n+1)}{2^{n-2}}

$$