解説

方針・初手

不等式の分母を払うと、(1) は $2x+3y\leq 6k$ の非負整数解の個数を数える問題である。

$y$ の偶奇で $x$ の最大値がきれいに表せるので、$y=2j$、$y=2j+1$ に分けて数える。

(2) は $z$ を固定すると、残りの $x,y$ について (1) と同じ形になるため、(1) の結果を足し合わせる。

解法1

(1) を考える。不等式

$$ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}\leq k

$$

の両辺に $6$ をかけると、

$$ 2x+3y\leq 6k

$$

となる。

ここで $y$ の偶奇で場合分けする。

**(i)**

$y=2j$ のとき

$y\geq 0$ かつ $2x+3y\leq 6k$ より、

$$ 2x+6j\leq 6k

$$

である。したがって、

$$ x\leq 3(k-j)

$$

となる。

このとき $j=0,1,\dots,k$ であり、各 $j$ に対して $x$ の個数は

$$ 3(k-j)+1

$$

である。

よって、この場合の個数は

$$ \sum_{j=0}^{k}{3(k-j)+1}

$$

である。$r=k-j$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{k}{3(k-j)+1} &= \sum_{r=0}^{k}(3r+1) \\ \frac{3k(k+1)}{2}+k+1 \end{aligned} $$

となる。

**(ii)**

$y=2j+1$ のとき

$2x+3y\leq 6k$ より、

$$ 2x+3(2j+1)\leq 6k

$$

すなわち

$$ 2x\leq 6k-6j-3

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} x\leq \left\lfloor 3(k-j)-\frac{3}{2}\right\rfloor &= 3(k-j)-2 \end{aligned} $$

となる。

このとき $j=0,1,\dots,k-1$ であり、各 $j$ に対して $x$ の個数は

$$ 3(k-j)-1

$$

である。

よって、この場合の個数は

$$ \sum_{j=0}^{k-1}{3(k-j)-1}

$$

である。$r=k-j$ とおくと、$r=1,2,\dots,k$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{k-1}{3(k-j)-1} &= \sum_{r=1}^{k}(3r-1) \\ \frac{3k(k+1)}{2}-k \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_k &= \left\{\frac{3k(k+1)}{2}+k+1\right\} + \left\{\frac{3k(k+1)}{2}-k\right\} \\ &= 3k(k+1)+1 \\ &= 3k^2+3k+1 \end{aligned}

$$

である。

次に (2) を考える。

$z$ を固定する。$z$ は非負整数であり、

$$ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}+z\leq n

$$

より、

$$ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}\leq n-z

$$

である。

$z=0,1,\dots,n$ のそれぞれについて、$x,y$ の組の個数は $a_{n-z}$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} b_n &= \sum_{z=0}^{n}a_{n-z} \\ \sum_{r=0}^{n}a_r \end{aligned} $$

となる。

(1) より $a_r=3r^2+3r+1$ であるから、

$$ \begin{aligned} b_n &= \sum_{r=0}^{n}(3r^2+3r+1) \\ &= 3\sum_{r=0}^{n}r^2 + 3\sum_{r=0}^{n}r + \sum_{r=0}^{n}1 \\ &= 3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) \end{aligned}

$$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} b_n &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + (n+1) \\ &= (n+1)\left\{\frac{n(2n+1)+3n}{2}+1\right\} \\ &= (n+1)\left\{\frac{2n^2+4n}{2}+1\right\} \\ &= (n+1)(n^2+2n+1) \\ &= (n+1)^3 \end{aligned}

$$

である。

解説

(1) では、分母を払って $2x+3y\leq 6k$ としたあと、$y$ の偶奇で分けるのが自然である。係数 $3y$ の偶奇によって $x$ の上限の切り捨てが変わるため、ここを一括で処理しようとすると床関数が残りやすい。

(2) は $z$ を固定すると、残りの条件が (1) と同じ形になる。したがって、$z$ ごとに (1) の結果を使い、それを足し合わせればよい。最終的に $(n+1)^3$ という簡潔な形になる。

答え

**(1)**

$$ a_k=3k^2+3k+1

$$

**(2)**

$$ b_n=(n+1)^3

$$