解説

方針・初手

各項は $k$ 番目が

$$ \frac{k}{3^{k-1}}

$$

となっている。分子が $1$ ずつ増え、分母が $3$ 倍される形なので、和を $S_n$ とおき、$\frac{1}{3}S_n$ を作って引き算する。

解法1

第 $n$ 項までの和を

$$ S_n=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+\cdots+\frac{n}{3^{n-1}}

$$

とおく。

両辺を $\frac{1}{3}$ 倍すると、

$$ \frac{1}{3}S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots+\frac{n}{3^n}

$$

である。これをもとの式から引くと、

$$ \begin{aligned} S_n-\frac{1}{3}S_n &=1+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{3}{3^2}-\frac{2}{3^2}\right) +\cdots +\left(\frac{n}{3^{n-1}}-\frac{n-1}{3^{n-1}}\right) -\frac{n}{3^n} \\ &=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3}S_n &= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n} \end{aligned} $$

である。

ここで、右辺の等比数列の和は

$$ \begin{aligned} 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}} &= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}} \\ \frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{2}{3}S_n &= \frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-\frac{n}{3^n} \end{aligned} $$

となる。

両辺に $\frac{3}{2}$ をかけて、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{9}{4}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-\frac{3n}{2\cdot 3^n} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{9}{4}-\frac{9}{4\cdot 3^n}-\frac{6n}{4\cdot 3^n} \\ \frac{9}{4}-\frac{6n+9}{4\cdot 3^n} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ S_n=\frac{9\cdot 3^n-6n-9}{4\cdot 3^n}

$$

である。

解説

分子に $k$ が現れる数列の和は、そのまま等比数列の和としては扱えない。そこで、和全体を公比にあたる $\frac{1}{3}$ 倍し、もとの和との差を取ると、分子の差がすべて $1$ になり、等比数列の和に帰着できる。

この処理は、等差数列と等比数列が混ざった形の和を求める典型的な方法である。

答え

$$ \boxed{ \frac{9}{4}-\frac{6n+9}{4\cdot 3^n} }

$$

または同値な形で、

$$ \boxed{ \frac{9\cdot 3^n-6n-9}{4\cdot 3^n} }

$$