基礎問題集
数学B 数列「数列の和」の問題64 解説
数学Bの数列「数列の和」にある問題64の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
分母が素数 $p$ である既約分数を
$$ \frac{a}{p}
$$
と表す。既約であるための条件は $\gcd(a,p)=1$ であるが、$p$ が素数なので、これは $a$ が $p$ の倍数でないことと同値である。
区間 $k-1<\dfrac{a}{p}<k$ に入る分数は、分子 $a$ の範囲に直して数え、さらに和を取ればよい。
解法1
まず、$0<\dfrac{a}{p}<1$ となる分母 $p$ の分数を考える。
この不等式は
$$ 0<a<p
$$
と同値である。したがって、分子 $a$ は
$$ a=1,2,\dots,p-1
$$
である。
$p$ は素数なので、$1,2,\dots,p-1$ はいずれも $p$ と互いに素である。よって、これらはすべて既約分数である。
したがって、求める個数は
$$ p-1
$$
である。
次に、$k$ を自然数とし、
$$ k-1<\frac{a}{p}<k
$$
を満たす既約分数を考える。両辺に $p$ を掛けると、
$$ p(k-1)<a<pk
$$
である。
よって、分子 $a$ は
$$ a=p(k-1)+1,\ p(k-1)+2,\ \dots,\ pk-1
$$
である。これらは全部で $p-1$ 個ある。
また、これらの分子は $p$ の倍数ではないので、すべて $p$ と互いに素である。したがって、すべて既約分数である。
これらの分数の和 $S_k$ は
$$ \begin{aligned} S_k &=\frac{1}{p}{p(k-1)+1+p(k-1)+2+\cdots+p(k-1)+(p-1)}\\ &=\frac{1}{p}\left\{(p-1)p(k-1)+\frac{(p-1)p}{2}\right\}\\ &=(p-1)(k-1)+\frac{p-1}{2}\\ &=\frac{(p-1)(2k-1)}{2}. \end{aligned}
$$
よって、
$$ S_k=\frac{(p-1)(2k-1)}{2}
$$
である。
最後に、
$$ \sum_{k=1}^{n}S_k
$$
を求める。上で求めた式を用いると、
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}S_k &=\sum_{k=1}^{n}\frac{(p-1)(2k-1)}{2}\\ &=\frac{p-1}{2}\sum_{k=1}^{n}(2k-1). \end{aligned}
$$
ここで、初めの $n$ 個の奇数の和は
$$ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2
$$
であるから、
$$ \sum_{k=1}^{n}S_k=\frac{(p-1)n^2}{2}
$$
である。
解説
分母が素数 $p$ であることが重要である。分子が $p$ の倍数でなければ、自動的に分母 $p$ と互いに素になる。
区間 $k-1<\dfrac{a}{p}<k$ に含まれる分数は、分子が連続する $p-1$ 個の整数
$$ p(k-1)+1,\ p(k-1)+2,\ \dots,\ pk-1
$$
に対応する。この見方をすると、個数と和が同時に処理できる。
また、$S_k$ が
$$ \frac{(p-1)(2k-1)}{2}
$$
となるため、最後は奇数列の和に帰着する。
答え
**(1)**
$$ p-1
$$
**(2)**
$$ S_k=\frac{(p-1)(2k-1)}{2}
$$
**(3)**
$$ \sum_{k=1}^{n}S_k=\frac{(p-1)n^2}{2}
$$