解説

方針・初手

各辺を $3:4$ に内分するので、まず $AA_1$ と $A_1B$ を求める。次に座標をおくと、正方形 $A_1B_1C_1D_1$ の一辺の長さが直角三角形の斜辺として求まる。

同じ操作を繰り返すと、一辺の長さは毎回同じ倍率で小さくなるため、等比数列として扱う。

解法1

正方形 $ABCD$ の一辺の長さは $1$ であり、点 $A_1$ は辺 $AB$ を $3:4$ に内分するから、

$$ AA_1:A_1B=3:4

$$

である。したがって、

$$ AA_1=\frac{3}{7},\qquad A_1B=\frac{4}{7}

$$

である。

次に、正方形の頂点を

$$ A(0,0),\quad B(1,0),\quad C(1,1),\quad D(0,1)

$$

とおく。

すると、

$$ A_1\left(\frac{3}{7},0\right),\qquad B_1\left(1,\frac{3}{7}\right)

$$

である。よって、正方形 $A_1B_1C_1D_1$ の一辺の長さ $a_1$ は

$$ \begin{aligned} a_1 &=A_1B_1 \\ &=\sqrt{\left(1-\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}-0\right)^2} \\ &=\sqrt{\left(\frac{4}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2} \\ &=\sqrt{\frac{16+9}{49}} \\ &=\frac{5}{7} \end{aligned}

$$

である。

同じ操作を正方形 $A_1B_1C_1D_1$ に対して行うと、新しくできる正方形の一辺の長さは、もとの正方形の一辺の長さの $\frac{5}{7}$ 倍になる。したがって、

$$ a_2=\frac{5}{7}a_1=\frac{5}{7}\cdot\frac{5}{7}=\frac{25}{49}

$$

である。

同様に、$n$ 番目に現れる正方形の一辺の長さは

$$ a_n=\left(\frac{5}{7}\right)^n

$$

である。

正方形 $ABCD$ の周の長さは $4$ であり、正方形 $A_kB_kC_kD_k$ の周の長さは $4a_k$ である。したがって、正方形 $ABCD$ と、$n$ 番目までに現れるすべての正方形の周の長さの和は

$$ 4+4a_1+4a_2+\cdots+4a_n

$$

である。

これは初項 $1$、公比 $\frac{5}{7}$ の等比数列の和を用いて

$$ \begin{aligned} 4\left(1+a_1+a_2+\cdots+a_n\right) &=4\left\{1+\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^2+\cdots+\left(\frac{5}{7}\right)^n\right\} \\ &=4\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{7}\right)^{n+1}}{1-\frac{5}{7}} \\ &=4\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{7}\right)^{n+1}}{\frac{2}{7}} \\ &=14\left\{1-\left(\frac{5}{7}\right)^{n+1}\right\} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題では、各辺を $3:4$ に内分してできる次の正方形の一辺が、もとの正方形の一辺の何倍になるかを見抜くことが重要である。

内分比が $3:4$ なので、隣り合う内分点を結ぶ線分は、縦横の長さがそれぞれ $\frac{3}{7}$、$\frac{4}{7}$ の直角三角形の斜辺になる。よって倍率は

$$ \sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{4}{7}\right)^2}=\frac{5}{7}

$$

である。

したがって、以後の一辺の長さは等比数列になる。周の長さも一辺の長さの $4$ 倍なので、最後は等比数列の和として処理すればよい。

答え

$$ \text{ア}=\frac{3}{7},\qquad \text{イ}=\frac{4}{7}

$$

$$ \text{ウ}=\frac{5}{7}

$$

$$ \text{エ}=\frac{25}{49}

$$

$$ \text{オ}=\left(\frac{5}{7}\right)^n

$$

$$ \text{カ}=14\left\{1-\left(\frac{5}{7}\right)^{n+1}\right\}

$$