解説

方針・初手

展開式の各係数は、各因子 $(x+1),(x+2),\ldots,(x+n)$ から $x$ を選ぶか定数を選ぶかで決まる。

$x^{n-k}$ の係数は、$1,2,\ldots,n$ の中から $k$ 個を選んで積を作り、それらをすべて足したものになる。したがって、求める係数は基本対称式として計算すればよい。

解法1

展開式を

$$ \begin{aligned} (x+1)(x+2)\cdots(x+n) &= x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+a_3x^{n-3}+\cdots \end{aligned} $$

とおく。

$x^{n-k}$ の係数は、$n$ 個の因子のうち $k$ 個から定数項を選び、残りから $x$ を選ぶことで得られる。

したがって

$$ a_1=\sum_{i=1}^n i,\qquad a_2=\sum_{1\le i<j\le n}ij,\qquad a_3=\sum_{1\le i<j<k\le n}ijk

$$

である。

まず、$x^n$ の係数は、すべての因子から $x$ を選ぶ場合だけなので

$$ 1

$$

である。

また、定数項はすべての因子から定数を選ぶので

$$ 1\cdot 2\cdot 3\cdots n=n!

$$

である。

次に、$x^{n-1}$ の係数は、定数をちょうど $1$ 個だけ選ぶ場合であるから

$$ a_1=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

$$

である。

次に、$x^{n-2}$ の係数を求める。これは $1,2,\ldots,n$ から異なる $2$ 個を選んだ積の和である。

$$ a_2=\sum_{1\le i<j\le n}ij

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n i\right)^2 &= \sum_{i=1}^n i^2+2\sum_{1\le i<j\le n}ij \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} a_2 &= \frac{1}{2}\left\{\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2-\sum_{i=1}^n i^2\right\} \end{aligned} $$

である。公式

$$ \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} a_2 &= \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right\}\\ &= \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{3n(n+1)-2(2n+1)}{12}\\ &= \frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24}\\ &= \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}. \end{aligned}

$$

したがって、$x^{n-2}$ の係数は

$$ \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}

$$

である。

最後に、$x^{n-3}$ の係数を求める。これは $1,2,\ldots,n$ から異なる $3$ 個を選んだ積の和である。

$$ a_3=\sum_{1\le i<j<k\le n}ijk

$$

次の恒等式を用いる。

$$ \begin{aligned} \left(\sum_{i=1}^n i\right)^3 &= \sum_{i=1}^n i^3 + 3\sum_{\substack{1\le i,j\le n\ i\ne j}}i^2j + 6\sum_{1\le i<j<k\le n}ijk \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \sum_{\substack{1\le i,j\le n\ i\ne j}}i^2j &= \left(\sum_{i=1}^n i^2\right)\left(\sum_{j=1}^n j\right)-\sum_{i=1}^n i^3 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a_3 &= \frac{1}{6}\left\{ \left(\sum_{i=1}^n i\right)^3 -3\left(\sum_{i=1}^n i\right)\left(\sum_{i=1}^n i^2\right) +2\sum_{i=1}^n i^3 \right\} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \sum_{i=1}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

$$

を用いる。$S=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とおくと、

$$ \begin{aligned} a_3 &= \frac{1}{6}\left\{ S^3-3S\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2S^2 \right\}\\ &= \frac{1}{6}\left\{ S^3-S^2(2n+1)+2S^2 \right\}\\ &= \frac{S^2}{6}{S-(2n+1)+2}\\ &= \frac{S^2}{6}(S-2n+1). \end{aligned}

$$

さらに

$$ \begin{aligned} S-2n+1 &= \frac{n(n+1)}{2}-2n+1 \\ \frac{n^2-3n+2}{2} \\ \frac{(n-1)(n-2)}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_3 &= \frac{1}{6}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\cdot \frac{(n-1)(n-2)}{2}\\ &= \frac{n^2(n-1)(n-2)(n+1)^2}{48}. \end{aligned}

$$

したがって、$x^{n-3}$ の係数は

$$ \frac{n^2(n-1)(n-2)(n+1)^2}{48}

$$

である。

解説

この問題では、展開を実際に行うのではなく、「どの因子から定数項を選ぶか」に注目するのが核心である。

$(x+1)(x+2)\cdots(x+n)$ は $n$ 個の一次式の積であるから、$x^{n-k}$ の係数は、$1,2,\ldots,n$ から $k$ 個を選んだ積の総和になる。特に $x^{n-2}$ や $x^{n-3}$ の係数は、対称式の公式を用いて処理すると計算が整理される。

$x^{n-3}$ の係数では、三つ組の積の和を直接数えるよりも、

$$ \left(\sum i\right)^3

$$

を展開して、同じ添字が出る項と異なる添字が出る項を分けるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ 1

$$

**(2)**

$$ n!

$$

**(3)**

$$ \frac{n(n+1)}{2}

$$

**(4)**

$$ \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}

$$

**(5)**

$$ \frac{n^2(n-1)(n-2)(n+1)^2}{48}

$$