解説

方針・初手

まず第1式から $b_n$ を $a_n,a_{n+1}$ で表し、それを用いて $a_n$ だけの漸化式を作る。

その後、$c_n=2^n a_n$ とおくと、$c_n$ が2階差分 $0$ の数列になるため、等差数列であることが分かる。

解法1

第1式

$$ a_{n+1}=\frac{4a_n+b_n}{6}

$$

より、

$$ b_n=6a_{n+1}-4a_n

$$

である。

また、第2式より

$$ b_{n+1}=\frac{-a_n+2b_n}{6}

$$

であるから、先ほどの $b_n=6a_{n+1}-4a_n$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{-a_n+2(6a_{n+1}-4a_n)}{6} \\ &=\frac{12a_{n+1}-9a_n}{6} \\ &=2a_{n+1}-\frac{3}{2}a_n \end{aligned}

$$

となる。

さらに、第1式を $n+1$ に対して用いると、

$$ a_{n+2}=\frac{4a_{n+1}+b_{n+1}}{6}

$$

である。ここに上の式を代入して、

$$ \begin{aligned} a_{n+2} &=\frac{4a_{n+1}+2a_{n+1}-\frac{3}{2}a_n}{6} \\ &=a_{n+1}-\frac{1}{4}a_n \end{aligned}

$$

を得る。したがって、

$$ 4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0

$$

である。

次に、

$$ c_n=2^n a_n

$$

とおく。すなわち、

$$ a_n=\frac{c_n}{2^n}

$$

である。

先ほど示した漸化式

$$ 4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0

$$

に代入すると、

$$ 4\cdot \frac{c_{n+2}}{2^{n+2}}-4\cdot \frac{c_{n+1}}{2^{n+1}}+\frac{c_n}{2^n}=0

$$

である。両辺に $2^n$ をかけて整理すると、

$$ c_{n+2}-2c_{n+1}+c_n=0

$$

となる。これは

$$ c_{n+2}-c_{n+1}=c_{n+1}-c_n

$$

を意味するので、${c_n}$、すなわち ${2^n a_n}$ は等差数列である。

初期値から、

$$ c_1=2^1a_1=2

$$

である。また、

$$ a_2=\frac{4a_1+b_1}{6} =\frac{4\cdot 1+(-2)}{6} =\frac{1}{3}

$$

より、

$$ c_2=2^2a_2=\frac{4}{3}

$$

である。

したがって、公差は

$$ \frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}

$$

であるから、

$$ c_n=2+(n-1)\left(-\frac{2}{3}\right) =\frac{8-2n}{3}

$$

となる。

よって、

$$ 2^n a_n=\frac{8-2n}{3}

$$

であるから、

$$ a_n=\frac{8-2n}{3\cdot 2^n} =\frac{4-n}{3\cdot 2^{n-1}}

$$

である。

最後に $b_n$ を求める。すでに

$$ b_n=6a_{n+1}-4a_n

$$

であった。

ここで、

$$ a_n=\frac{4-n}{3\cdot 2^{n-1}}

$$

より、

$$ a_{n+1}=\frac{4-(n+1)}{3\cdot 2^n} =\frac{3-n}{3\cdot 2^n}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} b_n &=6\cdot \frac{3-n}{3\cdot 2^n} -4\cdot \frac{4-n}{3\cdot 2^{n-1}} \\ &=\frac{2(3-n)}{2^n} -\frac{4(4-n)}{3\cdot 2^{n-1}} \\ &=\frac{3(6-2n)-4(8-2n)}{3\cdot 2^n} \\ &=\frac{18-6n-32+8n}{3\cdot 2^n} \\ &=\frac{2n-14}{3\cdot 2^n} \\ &=\frac{n-7}{3\cdot 2^{n-1}} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題では、2つの数列が連立して定義されているため、そのまま一般項を求めようとすると扱いにくい。

第1式から $b_n$ を消去して、まず ${a_n}$ だけの漸化式を作るのが自然である。すると、$a_n$ は

$$ 4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0

$$

という2階線形漸化式を満たす。

この漸化式は特性方程式が重解をもつ形であるが、本問では直接 $c_n=2^n a_n$ とおくことで、

$$ c_{n+2}-2c_{n+1}+c_n=0

$$

となる。これは階差が一定であることを表すので、${2^n a_n}$ が等差数列であると分かる。

$b_n$ は最後に第1式を変形した

$$ b_n=6a_{n+1}-4a_n

$$

から求めればよい。

答え

**(1)**

$$ 4a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ {2^n a_n}

$$

は初項 $2$、公差 $-\dfrac{2}{3}$ の等差数列である。

**(3)**

$$ a_n=\frac{4-n}{3\cdot 2^{n-1}}

$$

$$ b_n=\frac{n-7}{3\cdot 2^{n-1}}

$$