解説

方針・初手

$a_n+k b_n$ を1つの数列として見たとき、次の項 $a_{n+1}+k b_{n+1}$ が常に $a_n+k b_n$ の定数倍になればよい。

したがって、漸化式を用いて

$$ a_{n+1}+k b_{n+1}

$$

を $a_n,b_n$ で表し、それが

$$ r(a_n+k b_n)

$$

の形になるように $k$ を決める。

解法1

**(1)**

漸化式より、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}+k b_{n+1} &=(a_n+b_n)+k(4a_n+b_n)\\ &=(1+4k)a_n+(1+k)b_n \end{aligned}

$$

である。

これが等比数列になるためには、ある定数 $r$ が存在して

$$ a_{n+1}+k b_{n+1}=r(a_n+k b_n)

$$

となればよい。すなわち、

$$ (1+4k)a_n+(1+k)b_n=ra_n+rk b_n

$$

であるから、係数を比較して

$$ r=1+4k,\qquad rk=1+k

$$

を得る。

$r=1+4k$ を $rk=1+k$ に代入すると、

$$ k(1+4k)=1+k

$$

より、

$$ 4k^2=1

$$

である。したがって、

$$ k=\pm \frac12

$$

である。

$k=\frac12$ のとき、

$$ r=1+4\cdot\frac12=3

$$

となる。よって

$$ a_n+\frac12 b_n

$$

は公比 $3$ の等比数列である。

また、$k=-\frac12$ のとき、

$$ r=1+4\cdot\left(-\frac12\right)=-1

$$

となる。よって

$$ a_n-\frac12 b_n

$$

は公比 $-1$ の等比数列である。

**(2)**

まず $a_1=b_1=1$ より、

$$ a_1+\frac12 b_1=1+\frac12=\frac32

$$

である。したがって、

$$ a_n+\frac12 b_n=\frac32\cdot 3^{n-1}

$$

より、

$$ a_n+\frac12 b_n=\frac{3^n}{2}

$$

を得る。

また、

$$ a_1-\frac12 b_1=1-\frac12=\frac12

$$

である。これは公比 $-1$ の等比数列だから、

$$ a_n-\frac12 b_n=\frac12(-1)^{n-1}

$$

である。

以上より、

$$ \begin{cases} a_n+\dfrac12 b_n=\dfrac{3^n}{2}\\ a_n-\dfrac12 b_n=\dfrac12(-1)^{n-1} \end{cases}

$$

が成り立つ。

両辺を $2$ 倍すると、

$$ \begin{cases} 2a_n+b_n=3^n\\ 2a_n-b_n=(-1)^{n-1} \end{cases}

$$

である。

この2式を加えると、

$$ 4a_n=3^n+(-1)^{n-1}

$$

より、

$$ a_n=\frac{3^n+(-1)^{n-1}}{4}

$$

である。

また、2式を引くと、

$$ 2b_n=3^n-(-1)^{n-1}

$$

より、

$$ b_n=\frac{3^n-(-1)^{n-1}}{2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$a_n,b_n$ をそれぞれ単独で処理するのではなく、$a_n+k b_n$ という一次結合を作って等比数列に変形する点である。

漸化式が

$$ a_{n+1}=a_n+b_n,\qquad b_{n+1}=4a_n+b_n

$$

のように $a_n,b_n$ が混ざる形で与えられているため、適切な $k$ を選ぶことで、混ざり方を打ち消して単純な等比数列にする。

$k=\frac12$ と $k=-\frac12$ の2通りが得られるので、それぞれから

$$ a_n+\frac12 b_n,\qquad a_n-\frac12 b_n

$$

の一般項を求め、最後に連立して $a_n,b_n$ を取り出せばよい。

答え

**(1)**

$$ k=\frac12,\ -\frac12

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{3^n+(-1)^{n-1}}{4}

$$

$$ b_n=\frac{3^n-(-1)^{n-1}}{2}

$$