解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_n,b_n$ が混ざっているので、$a_n+\alpha b_n$ の形で1本の等比数列に直せる組を探す。

そのためには、問題文の条件

$$ a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)

$$

がすべての $n$ で成り立つように、$a_n$ の係数と $b_n$ の係数を比較すればよい。

解法1

まず、漸化式

$$ a_{n+1}=3a_n+b_n,\qquad b_{n+1}=2a_n+4b_n

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}+\alpha b_{n+1} &=(3a_n+b_n)+\alpha(2a_n+4b_n)\\ &=(3+2\alpha)a_n+(1+4\alpha)b_n \end{aligned}

$$

である。

これが

$$ \beta(a_n+\alpha b_n)=\beta a_n+\alpha\beta b_n

$$

と一致すればよいので、係数比較により

$$ \begin{cases} \beta=3+2\alpha,\\ \alpha\beta=1+4\alpha \end{cases}

$$

を得る。

第1式を第2式に代入すると、

$$ \alpha(3+2\alpha)=1+4\alpha

$$

すなわち

$$ 2\alpha^2-\alpha-1=0

$$

である。これを因数分解すると、

$$ (2\alpha+1)(\alpha-1)=0

$$

より、

$$ \alpha=1,\quad -\frac12

$$

である。

それぞれについて $\beta=3+2\alpha$ から、

$$ \alpha=1 \text{ のとき } \beta=5

$$

$$ \alpha=-\frac12 \text{ のとき } \beta=2

$$

となる。したがって、求める組は

$$ (\alpha,\beta)=(1,5),\quad \left(-\frac12,2\right)

$$

である。

次に、これらを用いて一般項を求める。

$(\alpha,\beta)=(1,5)$ より、

$$ a_{n+1}+b_{n+1}=5(a_n+b_n)

$$

である。初期値から

$$ a_1+b_1=1+3=4

$$

なので、

$$ a_n+b_n=4\cdot 5^{n-1}

$$

となる。

また、$(\alpha,\beta)=\left(-\frac12,2\right)$ より、

$$ a_{n+1}-\frac12 b_{n+1}=2\left(a_n-\frac12 b_n\right)

$$

である。両辺を2倍すると、

$$ 2a_{n+1}-b_{n+1}=2(2a_n-b_n)

$$

となる。初期値から

$$ 2a_1-b_1=2\cdot1-3=-1

$$

なので、

$$ 2a_n-b_n=-2^{n-1}

$$

である。

よって、

$$ \begin{cases} a_n+b_n=4\cdot 5^{n-1},\\ 2a_n-b_n=-2^{n-1} \end{cases}

$$

を解けばよい。

2式を加えると、

$$ 3a_n=4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}

$$

より、

$$ a_n=\frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}

$$

である。

また、

$$ b_n=(a_n+b_n)-a_n

$$

より、

$$ \begin{aligned} b_n &=4\cdot 5^{n-1}-\frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}\\ &=\frac{8\cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の本質は、連立漸化式をそのまま追うのではなく、$a_n+\alpha b_n$ という1つの数列にまとめることである。

係数比較によって $\alpha$ を決めると、$a_n+b_n$ と $2a_n-b_n$ という2つの等比数列が得られる。あとはこの2つの式を連立して $a_n,b_n$ を取り出せばよい。

特に、$\alpha=-\frac12$ の場合は分数を避けるために、$a_n-\frac12 b_n$ ではなく $2a_n-b_n$ として扱うと計算が簡単になる。

答え

**(1)**

$$ (\alpha,\beta)=(1,5),\quad \left(-\frac12,2\right)

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{4\cdot 5^{n-1}-2^{n-1}}{3}

$$

$$ b_n=\frac{8\cdot 5^{n-1}+2^{n-1}}{3}

$$