解説

方針・初手

2つの数列が同時に定義されているが，そのまま $a_n,b_n$ を追うよりも，差 $b_n-a_n$ を見ると漸化式が単純になる。

まず $a_3,b_3$ を直接計算し，その後 $d_n=b_n-a_n$ とおいて等比数列に帰着させる。さらに $a_{n+1}-a_n$ を $d_n$ で表して，一般項 $a_n$ を求める。

解法1

まず初期条件 $a_1=0,\ b_1=1$ より，

$$ a_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}b_1=\frac{1}{2}

$$

$$ b_2=\frac{1}{4}a_1+\frac{3}{4}b_1=\frac{3}{4}

$$

である。したがって，

$$ a_3=\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{2}b_2 =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4} =\frac{5}{8}

$$

$$ b_3=\frac{1}{4}a_2+\frac{3}{4}b_2 =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4} =\frac{11}{16}

$$

次に，差を調べる。$d_n=b_n-a_n$ とおくと，

$$ \begin{aligned} b_{n+1}-a_{n+1} &=\left(\frac{1}{4}a_n+\frac{3}{4}b_n\right) -\left(\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n\right) \\ &=-\frac{1}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n \\ &=\frac{1}{4}(b_n-a_n) \end{aligned}

$$

となる。よって $d_{n+1}=\frac{1}{4}d_n$ であり，また $d_1=b_1-a_1=1$ だから，

$$ b_n-a_n=d_n=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\frac{1}{4^{n-1}}

$$

である。

次に $a_n$ の一般項を求める。漸化式より，

$$ a_{n+1} =\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n =a_n+\frac{1}{2}(b_n-a_n)

$$

であるから，

$$ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}(b_n-a_n) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}

$$

となる。したがって，$n\geqq 1$ に対して，

$$ \begin{aligned} a_n &=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) \\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{4}} \\ &=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right) \end{aligned}

$$

である。

次に，

$$ \sum_{k=1}^{n}4^{k-1}a_k

$$

を求める。先ほどの一般項を用いると，

$$ 4^{k-1}a_k =4^{k-1}\cdot \frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{k-1}}\right) =\frac{2}{3}(4^{k-1}-1)

$$

である。よって，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}4^{k-1}a_k &=\frac{2}{3}\sum_{k=1}^{n}(4^{k-1}-1) \\ &=\frac{2}{3}\left(\frac{4^n-1}{3}-n\right) \\ &=\frac{2}{9}(4^n-3n-1) \end{aligned}

$$

である。

最後に，

$$ \sum_{k=1}^{n}k(b_k-a_k)

$$

を求める。$b_k-a_k=\frac{1}{4^{k-1}}$ より，

$$ \sum_{k=1}^{n}k(b_k-a_k) =\sum_{k=1}^{n}k\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}

$$

である。

ここで

$$ T_n=\sum_{k=1}^{n}k r^{k-1}

$$

とおくと，

$$ T_n=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1}

$$

であり，

$$ rT_n=r+2r^2+3r^3+\cdots+nr^n

$$

である。これらを引くと，

$$ (1-r)T_n=1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n

$$

となる。したがって，

$$ T_n=\frac{1-r^n}{(1-r)^2}-\frac{nr^n}{1-r}

$$

である。ここで $r=\frac{1}{4}$ とすると，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}k(b_k-a_k) &=\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n}{\left(1-\frac{1}{4}\right)^2} -\frac{n\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}} \\ &=\frac{16}{9}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)-\frac{4n}{3\cdot 4^n} \\ &=\frac{4}{9}\left(4-\frac{3n+4}{4^n}\right) \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は，$a_n,b_n$ を別々に追わず，差 $b_n-a_n$ を作ることである。差を取ると係数が整理され，

$$ b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{4}(b_n-a_n)

$$

という等比数列になる。

その後，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}(b_n-a_n)$ と変形すれば，$a_n$ は差分の和として求められる。連立漸化式では，和や差を取って1本の漸化式に落とす発想が重要である。

答え

**(1)**

$$ a_3=\frac{5}{8},\qquad b_3=\frac{11}{16}

$$

したがって，

$$ ①=\frac{5}{8},\qquad ②=\frac{11}{16}

$$

**(2)**

$$ b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{1}{4}(b_n-a_n)

$$

より，

$$ ③=\frac{1}{4}

$$

また，

$$ b_n-a_n=\frac{1}{4^{n-1}}

$$

より，

$$ ④=\frac{1}{4^{n-1}}

$$

**(3)**

$$ a_n=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)

$$

より，

$$ ⑤=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)

$$

**(4)**

$$ \sum_{k=1}^{n}4^{k-1}a_k=\frac{2}{9}(4^n-3n-1)

$$

より，

$$ ⑥=\frac{2}{9}(4^n-3n-1)

$$

また，

$$ \sum_{k=1}^{n}k(b_k-a_k)=\frac{4}{9}\left(4-\frac{3n+4}{4^n}\right)

$$

より，

$$ ⑦=4-\frac{3n+4}{4^n}

$$