解説

方針・初手

漸化式に積と累乗が含まれているので、まず底 $2$ の対数をとって、掛け算型の漸化式を足し算型の漸化式に直す。

その後、$\alpha_n+\beta_n$ と $\alpha_n-\beta_n$ を考えると、漸化式が簡単になる。

解法1

**(1)**

$a_n,b_n$ は正の数であるから、$\alpha_n=\log_2 a_n,\ \beta_n=\log_2 b_n$ は定義できる。

$a_{n+1}=a_n^2b_n,\ b_{n+1}=a_nb_n^2$ より、底 $2$ の対数をとると、

$$ \alpha_{n+1}=2\alpha_n+\beta_n,\qquad \beta_{n+1}=\alpha_n+2\beta_n

$$

である。また、$a_1=4,\ b_1=2$ より、

$$ \alpha_1=2,\qquad \beta_1=1

$$

である。

ここで $s_n=\alpha_n+\beta_n$ とおくと、

$$ \begin{aligned} s_{n+1} &=\alpha_{n+1}+\beta_{n+1}\\ &=(2\alpha_n+\beta_n)+(\alpha_n+2\beta_n)\\ &=3(\alpha_n+\beta_n)\\ &=3s_n \end{aligned}

$$

である。また、

$$ s_1=\alpha_1+\beta_1=2+1=3

$$

であるから、

$$ s_n=3^n

$$

となる。したがって、

$$ \alpha_n+\beta_n=3^n

$$

である。

**(2)**

示すべき等式を

$$ 1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+n\cdot 3^n =\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}

$$

とする。

左辺を $T_n$ とおく。

$$ T_n=1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+n\cdot 3^n

$$

両辺を $3$ 倍すると、

$$ 3T_n=1\cdot 3^2+2\cdot 3^3+3\cdot 3^4+\cdots+n\cdot 3^{n+1}

$$

である。ここで $3T_n-T_n$ を計算する。

$$ \begin{aligned} 2T_n &=3T_n-T_n\\ &=-3-3^2-3^3-\cdots-3^n+n\cdot 3^{n+1} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ 2T_n=n\cdot 3^{n+1}-(3+3^2+\cdots+3^n)

$$

である。等比数列の和より、

$$ 3+3^2+\cdots+3^n=\frac{3(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2T_n &=n\cdot 3^{n+1}-\frac{3^{n+1}-3}{2}\\ &=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2} \end{aligned}

$$

よって、

$$ T_n=\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}

$$

となり、示された。

**(3)**

求める値は、対数の性質より、

$$ \begin{aligned} \log_2(a_1a_2^2a_3^3\cdots a_n^n) &=\log_2 a_1+2\log_2 a_2+3\log_2 a_3+\cdots+n\log_2 a_n\\ &=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3+\cdots+n\alpha_n\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\alpha_k \end{aligned}

$$

である。

そこで $\alpha_n$ を求める。すでに （1） より、

$$ \alpha_n+\beta_n=3^n

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \alpha_{n+1}-\beta_{n+1} &=(2\alpha_n+\beta_n)-(\alpha_n+2\beta_n)\\ &=\alpha_n-\beta_n \end{aligned}

$$

である。さらに、

$$ \alpha_1-\beta_1=2-1=1

$$

だから、すべての正の整数 $n$ について、

$$ \alpha_n-\beta_n=1

$$

である。

したがって、

$$ \begin{cases} \alpha_n+\beta_n=3^n\\ \alpha_n-\beta_n=1 \end{cases}

$$

より、

$$ \alpha_n=\frac{3^n+1}{2}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \log_2(a_1a_2^2a_3^3\cdots a_n^n) &=\sum_{k=1}^{n}k\alpha_k\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\cdot \frac{3^k+1}{2}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k3^k+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k \end{aligned}

$$

である。

（2） の結果より、

$$ \sum_{k=1}^{n}k3^k=\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}

$$

であり、また、

$$ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \log_2(a_1a_2^2a_3^3\cdots a_n^n) &=\frac{1}{2}\left(\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}\right) +\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{2n-1}{8}3^{n+1}+\frac{3}{8}+\frac{n(n+1)}{4} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、累乗と積で定義された漸化式を、対数によって線形漸化式に変換する点である。

特に、

$$ a_{n+1}=a_n^2b_n,\qquad b_{n+1}=a_nb_n^2

$$

はそのまま扱うと複雑だが、対数をとると、

$$ \alpha_{n+1}=2\alpha_n+\beta_n,\qquad \beta_{n+1}=\alpha_n+2\beta_n

$$

という一次式になる。

さらに、$\alpha_n+\beta_n$ と $\alpha_n-\beta_n$ を考えると、

$$ \alpha_n+\beta_n=3^n,\qquad \alpha_n-\beta_n=1

$$

が得られる。ここから $\alpha_n$ を直接求めることができ、最後の積の対数は $\sum k\alpha_k$ に帰着される。

答え

**(1)**

$$ \alpha_n+\beta_n=3^n

$$

**(2)**

$$ 1\cdot 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots+n\cdot 3^n =\frac{2n-1}{4}3^{n+1}+\frac{3}{4}

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \begin{aligned} \log_2(a_1a_2^2a_3^3\cdots a_n^n) &= \frac{2n-1}{8}3^{n+1}+\frac{n(n+1)}{4}+\frac{3}{8} \end{aligned} $$