基礎問題集
数学B 数列「3項間漸化式」の問題2 解説
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解説
方針・初手
与えられた式
$$ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2
$$
は、隣り合う差 $a_{n+1}-a_n$ の変化を表している。そこで
$$ d_n=a_{n+1}-a_n
$$
とおくと、一次の漸化式に直せる。
解法1
$d_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。
このとき
$$ d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}
$$
であるから、与えられた漸化式は
$$ (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=2
$$
すなわち
$$ d_{n+1}-d_n=2
$$
となる。
また、
$$ d_1=a_2-a_1=2-1=1
$$
である。したがって、数列 ${d_n}$ は初項 $1$、公差 $2$ の等差数列であるから、
$$ d_n=1+2(n-1)=2n-1
$$
となる。
よって
$$ a_{n+1}-a_n=2n-1
$$
である。
次に、$a_n$ を求める。$n\geqq 2$ のとき、
$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)
$$
であるから、
$$ a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)
$$
となる。
ここで、最初の $n-1$ 個の奇数の和は $(n-1)^2$ であるから、
$$ a_n=1+(n-1)^2
$$
すなわち
$$ a_n=n^2-2n+2
$$
である。
この式は $n=1$ のときも
$$ 1^2-2\cdot 1+2=1
$$
となり、初期条件 $a_1=1$ を満たす。
解説
この問題の核心は、二階差分
$$ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n
$$
をそのまま扱うのではなく、
$$ (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)
$$
と見直す点にある。
つまり、$a_{n+1}-a_n$ を新しい数列として考えると、問題は等差数列の処理に帰着する。二階の漸化式では、まず「差の数列」を作るのが典型的な初手である。
答え
**(1)**
$$ a_{n+1}-a_n=2n-1
$$
**(2)**
$$ a_n=n^2-2n+2
$$