解説

方針・初手

$S_n$ は初項から第 $n$ 項までの和であるから、$S_{n+1}$ と $S_n$ の差をとると $a_{n+1}$ が現れる。この性質を使って、まず $a_n$ だけの漸化式に直す。

その後、$b_n=a_{n+1}-2a_n$ を導入すると等比数列になり、さらに $c_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ を考えると階差が一定の数列になる。

解法1

まず、$a_1=1$ であり、

$$ S_{n+1}=4a_n+3

$$

が成り立つ。

$n=1$ を代入すると、

$$ S_2=4a_1+3=4\cdot 1+3=7

$$

である。したがって、

$$ a_1+a_2=7

$$

より、

$$ a_2=6

$$

である。

**(1)**

$n\geqq 2$ のとき、条件式を $n$ と $n-1$ について書くと、

$$ S_{n+1}=4a_n+3

$$

および

$$ S_n=4a_{n-1}+3

$$

である。

両辺を引くと、左辺は

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}

$$

となるので、

$$ a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}

$$

を得る。

よって、

$$ a_{n+1}-4a_n+4a_{n-1}=0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$b_n=a_{n+1}-2a_n$ とおく。

(1)の結果より、$n\geqq 2$ に対して

$$ a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}

$$

である。

この式を $n+1$ にずらすと、

$$ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n

$$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-2a_{n+1} \\ &=(4a_{n+1}-4a_n)-2a_{n+1} \\ &=2a_{n+1}-4a_n \\ &=2(a_{n+1}-2a_n) \\ &=2b_n \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ b_1=a_2-2a_1=6-2=4

$$

である。

よって、数列 ${b_n}$ は初項 $4$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$ b_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}

$$

となる。

**(3)**

$c_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ とおく。

(2)より、

$$ a_{n+1}-2a_n=2^{n+1}

$$

である。

両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$$ \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{2a_n}{2^{n+1}}=1

$$

である。

ここで、

$$ \frac{2a_n}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}

$$

だから、

$$ c_{n+1}-c_n=1

$$

となる。

また、

$$ c_1=\frac{a_1}{2^1}=\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、数列 ${c_n}$ は初項 $\dfrac{1}{2}$、公差 $1$ の等差数列であるから、

$$ c_n=\frac{1}{2}+(n-1)=n-\frac{1}{2}

$$

となる。

**(4)**

$c_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ であり、(3)より

$$ c_n=n-\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \frac{a_n}{2^n}=n-\frac{1}{2}

$$

より、

$$ a_n=2^n\left(n-\frac{1}{2}\right)

$$

である。

整理すると、

$$ a_n=(2n-1)2^{n-1}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、和 $S_n$ を含む条件を、隣り合う式の差をとることで $a_n$ の漸化式へ変形する点である。

$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を使うと、$a_{n+1}-4a_n+4a_{n-1}=0$ という2階線形漸化式が得られる。このまま特性方程式で解くこともできるが、問題では $b_n=a_{n+1}-2a_n$、$c_n=\dfrac{a_n}{2^n}$ という置き換えが指定されているので、それに従うと自然に解ける。

特に、$b_n$ は等比数列になり、$c_n$ は等差数列になる。この流れを見抜くことが重要である。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}-4a_n+4a_{n-1}=0 \qquad (n\geqq 2)

$$

**(2)**

$$ b_n=2^{n+1}

$$

**(3)**

$$ c_n=n-\frac{1}{2}

$$

**(4)**

$$ a_n=(2n-1)2^{n-1}

$$