基礎問題集
数学B 数列「3項間漸化式」の問題13 解説
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解説
方針・初手
漸化式
$$ a_{n+2}-(3c-2)a_{n+1}+(3c-3)a_n=0
$$
を、差 $a_{n+1}-a_n$ に関する等比数列の形へ変形する。係数比較によって $p,q$ を求めたあと、差分を足し上げて $a_n$ を求める。
解法1
まず、与えられた形
$$ a_{n+2}-p a_{n+1}=q(a_{n+1}-p a_n)
$$
を左辺に集めると、
$$ a_{n+2}-(p+q)a_{n+1}+pq,a_n=0
$$
となる。
これが
$$ a_{n+2}-(3c-2)a_{n+1}+(3c-3)a_n=0
$$
と一致すればよいから、
$$ p+q=3c-2,\qquad pq=3c-3
$$
である。
このとき、$p,q$ は方程式
$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0
$$
の2つの解である。これを因数分解すると、
$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=(x-1){x-(3c-3)}
$$
である。
$p$ は定数であるから、
$$ p=1,\qquad q=3c-3
$$
である。
したがって、漸化式は
$$ a_{n+2}-a_{n+1}=(3c-3)(a_{n+1}-a_n)
$$
と変形できる。
ここで
$$ b_n=a_{n+1}-a_n
$$
とおくと、
$$ b_{n+1}=(3c-3)b_n
$$
である。また、
$$ b_1=a_2-a_1=7-3=4
$$
だから、
$$ b_n=4(3c-3)^{n-1}
$$
となる。
よって、
$$ a_{n+1}-a_n=4(3c-3)^{n-1}
$$
である。これを $k=1$ から $n-1$ まで足すと、
$$ a_n-a_1=\sum_{k=1}^{n-1}4(3c-3)^{k-1}
$$
となる。
$a_1=3$ より、
$$ a_n=3+4\sum_{k=1}^{n-1}(3c-3)^{k-1}
$$
である。
ここで $c\ne \dfrac{4}{3}$ だから、
$$ 3c-3\ne 1
$$
である。したがって等比数列の和の公式より、
$$ \sum_{k=1}^{n-1}(3c-3)^{k-1} =\frac{(3c-3)^{n-1}-1}{(3c-3)-1} =\frac{(3c-3)^{n-1}-1}{3c-4}
$$
である。
よって、
$$ a_n=3+\frac{4{(3c-3)^{n-1}-1}}{3c-4}
$$
となる。整理すると、
$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4}
$$
である。
解法2
特性方程式を用いて求める。
与えられた漸化式の特性方程式は
$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0
$$
である。これは
$$ (x-1){x-(3c-3)}=0
$$
と因数分解できる。
$c\ne \dfrac{4}{3}$ より、
$$ 1\ne 3c-3
$$
であるから、2つの特性根は相異なる。したがって一般項は
$$ a_n=A+B(3c-3)^{n-1}
$$
と表せる。
初期条件 $a_1=3,\ a_2=7$ を代入すると、
$$ A+B=3
$$
また、
$$ A+B(3c-3)=7
$$
である。
2式を引くと、
$$ B{(3c-3)-1}=4
$$
すなわち
$$ B(3c-4)=4
$$
である。$c\ne \dfrac{4}{3}$ より $3c-4\ne 0$ だから、
$$ B=\frac{4}{3c-4}
$$
となる。
また、
$$ A=3-\frac{4}{3c-4} =\frac{9c-16}{3c-4}
$$
である。
したがって、
$$ a_n=\frac{9c-16}{3c-4}+\frac{4}{3c-4}(3c-3)^{n-1}
$$
すなわち
$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4}
$$
である。
解説
この問題の中心は、2階線形漸化式をそのまま解くのではなく、差分 $a_{n+1}-a_n$ に着目して1階の等比型漸化式へ落とすことである。
特性方程式
$$ x^2-(3c-2)x+(3c-3)=0
$$
が
$$ (x-1){x-(3c-3)}=0
$$
と因数分解できるため、根の一方が定数 $1$ になる。このため、$p=1$ と選ぶと
$$ a_{n+2}-a_{n+1}=(3c-3)(a_{n+1}-a_n)
$$
となり、差分が等比数列になる。
条件 $c\ne \dfrac{4}{3}$ は、$3c-3\ne 1$ を保証するために使われる。これにより、等比数列の和の公式で分母 $3c-4$ が $0$ にならない。
答え
**(1)**
$$ p=1,\qquad q=3c-3
$$
**(2)**
$$ a_n=\frac{4(3c-3)^{n-1}+9c-16}{3c-4}
$$