基礎問題集
数学B 数列「2項間漸化式」の問題3 解説
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解説
方針・初手
$S_n$ は第 $n$ 項までの和なので、
$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n
$$
である。与えられた漸化式は $S_n$ の式なので、まず $S_n$ を $a_n$ で表し、それを用いて $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作る。
解法1
$S_1=0$ であり、$S_1=a_1$ だから、
$$ a_1=0
$$
である。
与えられた式
$$ S_{n+1}-3S_n=n^2
$$
より、
$$ S_{n+1}=3S_n+n^2
$$
である。したがって、
$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=2S_n+n^2
$$
となる。
次に、$S_n$ を $a_n$ で表す。$n\geq 2$ のとき、
$$ S_n-3S_{n-1}=(n-1)^2
$$
であり、また
$$ a_n=S_n-S_{n-1}
$$
である。よって $S_{n-1}=S_n-a_n$ を代入すると、
$$ S_n-3(S_n-a_n)=(n-1)^2
$$
すなわち、
$$ -2S_n+3a_n=(n-1)^2
$$
である。したがって、
$$ 2S_n=3a_n-(n-1)^2
$$
となる。
これを
$$ a_{n+1}=2S_n+n^2
$$
に代入すると、
$$ a_{n+1}=3a_n-(n-1)^2+n^2
$$
である。ここで
$$ n^2-(n-1)^2=2n-1
$$
だから、
$$ a_{n+1}=3a_n+2n-1
$$
を得る。この式は $n=1$ のときも成り立つので、求める漸化式は
$$ a_1=0,\qquad a_{n+1}=3a_n+2n-1
$$
である。
次に一般項を求める。漸化式
$$ a_{n+1}-3a_n=2n-1
$$
を解く。
右辺が $n$ の一次式なので、特殊解を $a_n=An+B$ とおく。すると、
$$ A(n+1)+B-3(An+B)=2n-1
$$
より、
$$ -2An+(A-2B)=2n-1
$$
である。係数を比較すると、
$$ -2A=2,\qquad A-2B=-1
$$
だから、
$$ A=-1,\qquad B=0
$$
となる。よって特殊解は
$$ a_n=-n
$$
である。
一方、同次方程式
$$ a_{n+1}=3a_n
$$
の解は
$$ C3^{n-1}
$$
である。したがって一般解は
$$ a_n=C3^{n-1}-n
$$
である。
初期条件 $a_1=0$ を代入すると、
$$ 0=C-1
$$
より、
$$ C=1
$$
である。したがって、
$$ a_n=3^{n-1}-n
$$
を得る。
解説
この問題では、$S_n$ の漸化式から直接 $a_n$ を求めるのではなく、$a_n=S_n-S_{n-1}$ を使って $S_n$ を消去するのが自然である。
ポイントは、
$$ S_n-3S_{n-1}=(n-1)^2
$$
と
$$ a_n=S_n-S_{n-1}
$$
を組み合わせることで、$S_n$ を $a_n$ で表せる点である。これにより、$S_n$ の漸化式を $a_n$ の漸化式へ変換できる。
得られる漸化式は、右辺に $n$ を含む形の漸化式であり、右辺が一次式なので、特殊解も一次式とおくのが標準的な処理である。
答え
**(1)**
$$ a_1=0,\qquad a_{n+1}=3a_n+2n-1
$$
**(2)**
$$ a_n=3^{n-1}-n
$$