解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_n$ そのものではなく、逆数 $\dfrac{1}{a_n}$ についての漸化式である。

そこで $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと、階差数列の形になる。まず $b_n$ を求め、その逆数として $a_n$ を求める。さらに $a_n$ は部分分数分解できる形になるので、和 $S_n$ は望ましい形で相殺される。

解法1

$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと、$a_1=\dfrac{1}{15}$ より

$$ b_1=15

$$

である。また、与えられた漸化式から

$$ b_{n+1}=b_n+4(2n+3)

$$

となる。

したがって、$b_n$ は階差

$$ b_{n+1}-b_n=4(2n+3)=8n+12

$$

をもつ数列である。

$n\geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} b_n &=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)\\ &=15+\sum_{k=1}^{n-1}(8k+12)\\ &=15+8\cdot \frac{(n-1)n}{2}+12(n-1)\\ &=15+4n(n-1)+12n-12\\ &=4n^2+8n+3. \end{aligned}

$$

これは $n=1$ のときも

$$ 4\cdot 1^2+8\cdot 1+3=15

$$

となるので成り立つ。

よって

$$ b_n=4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)

$$

である。

したがって

$$ a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}

$$

である。

次に、$S_n$ を求める。上で求めた $a_n$ を部分分数分解すると、

$$ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n} a_k\\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). \end{aligned}

$$

ここで実際に並べると、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{1}{2}\left\{ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) +\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right). \end{aligned}

$$

したがって

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{3(2n+3)}\\ &=\frac{n}{3(2n+3)}. \end{aligned}

$$

解説

この問題の中心は、漸化式が $a_n$ ではなく $\dfrac{1}{a_n}$ に対して与えられている点である。したがって、$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ と置き換えれば、単なる階差数列になる。

また、求めた $a_n$ は

$$ a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}

$$

という形になるため、和を求める際は部分分数分解によって隣り合う項を相殺させるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ b_n=(2n+1)(2n+3)

$$

$$ a_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}

$$

**(2)**

$$ S_n=\frac{n}{3(2n+3)}

$$