解説

方針・初手

漸化式の右辺に $a_n$ がそのまま残っているので、$a_1$ から順に差分を足し上げればよい。

一般項は

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{2^{k+1}}

$$

と表せるため、この和を計算する。

解法1

まず、(1) のために順に計算する。

$$ a_1=\frac{1}{2}

$$

$$ a_2=a_1+\frac{2\cdot 1+1}{2^{1+1}} =\frac{1}{2}+\frac{3}{4} =\frac{5}{4}

$$

$$ a_3=a_2+\frac{2\cdot 2+1}{2^{2+1}} =\frac{5}{4}+\frac{5}{8} =\frac{15}{8}

$$

$$ a_4=a_3+\frac{2\cdot 3+1}{2^{3+1}} =\frac{15}{8}+\frac{7}{16} =\frac{37}{16}

$$

よって

$$ a_4=\frac{37}{16}

$$

である。

次に一般項を求める。

漸化式より、$n\geqq 2$ のとき

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{2^{k+1}}

$$

である。ここで

$$ \frac{2k+1}{2^{k+1}} =\frac{k}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}

$$

と分ける。

したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{2^{k+1}} &= \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k} + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}} \end{aligned} $$

である。

まず

$$ S=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}

$$

とおく。この和を求めるため、両辺に $\frac{1}{2}$ をかけると

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &= \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^{k+1}} \end{aligned} $$

である。これらを具体的に並べると

$$ S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-1}}

$$

$$ \frac{1}{2}S=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+\cdots+\frac{n-1}{2^n}

$$

であるから、引き算して

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n-1}{2^n} \end{aligned}

$$

となる。等比数列の和より

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} &= 1-\frac{1}{2^{n-1}} \end{aligned} $$

なので、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}S &= 1-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n-1}{2^n} \\ 1-\frac{n+1}{2^n} \end{aligned} $$

である。よって

$$ S=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}

$$

を得る。

また、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k+1}} &= \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^n} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2^n} \end{aligned} $$

である。

以上より

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac{1}{2} +\left(2-\frac{n+1}{2^{n-1}}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}\right)\\ &=3-\frac{2n+2}{2^n}-\frac{1}{2^n}\\ &=3-\frac{2n+3}{2^n} \end{aligned}

$$

となる。

この式は $n=1$ のときも

$$ \begin{aligned} 3-\frac{2\cdot 1+3}{2^1} &= 3-\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

となり、$a_1$ と一致する。

したがって、一般項は

$$ a_n=3-\frac{2n+3}{2^n}

$$

である。

解説

この問題は、漸化式の形が

$$ a_{n+1}=a_n+\text{項}

$$

となっているため、階差数列を足し上げるのが基本方針である。

重要なのは、和

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{2^{k+1}}

$$

を処理するところである。分子が $k$ を含むので、等比数列そのものではなく、$k/2^k$ 型の和が現れる。この型は、和を $S$ とおいて $\frac{1}{2}S$ とずらして引くのが典型的な処理である。

(1) は一般項を使わずに順に計算してもよいが、(2) の式に $n=4$ を代入しても

$$ a_4=3-\frac{11}{16}=\frac{37}{16}

$$

となる。

答え

**(1)**

$$ a_4=\frac{37}{16}

$$

**(2)**

$$ a_n=3-\frac{2n+3}{2^n}

$$