解説

方針・初手

与えられた漸化式は分数式であるため、そのまま $a_n$ を解こうとすると扱いにくい。

そこで、問題で定義された

$$ b_n=\frac{2}{2a_n-1}

$$

を使い、まず $2a_{n+1}-1$ を $a_n$ で表す。そこから $b_{n+1}$ を $b_n$ で表せば、等差数列に帰着できる。

解法1

漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{5a_n-1}{4a_n+1}

$$

より、

$$ \begin{aligned} 2a_{n+1}-1 &=2\cdot \frac{5a_n-1}{4a_n+1}-1\\ &=\frac{10a_n-2}{4a_n+1}-\frac{4a_n+1}{4a_n+1}\\ &=\frac{6a_n-3}{4a_n+1}\\ &=\frac{3(2a_n-1)}{4a_n+1} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ b_{n+1} =\frac{2}{2a_{n+1}-1} =\frac{2}{\dfrac{3(2a_n-1)}{4a_n+1}} =\frac{2(4a_n+1)}{3(2a_n-1)}

$$

となる。

ここで

$$ b_n=\frac{2}{2a_n-1}

$$

より、

$$ 2a_n-1=\frac{2}{b_n}

$$

である。よって

$$ 2a_n=1+\frac{2}{b_n}

$$

となり、

$$ a_n=\frac{b_n+2}{2b_n}

$$

である。

これを用いると、

$$ 4a_n+1 =4\cdot \frac{b_n+2}{2b_n}+1 =\frac{2b_n+4}{b_n}+1 =\frac{3b_n+4}{b_n}

$$

である。また、

$$ 2a_n-1=\frac{2}{b_n}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{2(4a_n+1)}{3(2a_n-1)}\\ &=\frac{2\cdot \dfrac{3b_n+4}{b_n}}{3\cdot \dfrac{2}{b_n}}\\ &=\frac{3b_n+4}{3}\\ &=b_n+\frac{4}{3} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、$b_{n+1}$ は $b_n$ を用いて

$$ b_{n+1}=b_n+\frac{4}{3}

$$

と表される。

次に、$b_1$ を求める。$a_1=\dfrac{3}{2}$ より、

$$ b_1=\frac{2}{2a_1-1} =\frac{2}{3-1} =1

$$

である。

よって、数列 ${b_n}$ は初項 $1$、公差 $\dfrac{4}{3}$ の等差数列であるから、

$$ b_n=1+(n-1)\frac{4}{3} =\frac{4n-1}{3}

$$

である。

ここで

$$ b_n=\frac{2}{2a_n-1}

$$

より、

$$ 2a_n-1=\frac{2}{b_n}

$$

である。したがって、

$$ 2a_n=1+\frac{2}{b_n}

$$

であり、

$$ a_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{b_n}\right)

$$

となる。

$b_n=\dfrac{4n-1}{3}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{\dfrac{4n-1}{3}}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(1+\frac{6}{4n-1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{4n+5}{4n-1}\\ &=\frac{4n+5}{2(4n-1)} \end{aligned}

$$

である。

よって、

$$ a_n=\frac{4n+5}{2(4n-1)}

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、分数型の漸化式をそのまま解かず、問題で与えられた変換 $b_n=\dfrac{2}{2a_n-1}$ を利用することである。

$a_{n+1}$ の式から直接 $2a_{n+1}-1$ を作ると、分母・分子が整理されて

$$ 2a_{n+1}-1=\frac{3(2a_n-1)}{4a_n+1}

$$

となる。この形は $b_n=\dfrac{2}{2a_n-1}$ と相性がよく、結果として $b_n$ は等差数列になる。

分数式の漸化式では、適切な変換によって等差数列や等比数列に帰着することが多い。この問題では、変換後に

$$ b_{n+1}=b_n+\frac{4}{3}

$$

となる点が核心である。

答え

$$ b_{n+1}=b_n+\frac{4}{3}

$$

また、

$$ a_n=\frac{4n+5}{2(4n-1)}

$$