解説

方針・初手

漸化式の右辺には $3^n$ が共通して現れるので、$a_n$ を $3^n$ で割った数列 $b_n$ を考えると、一次式の差分に帰着できる。

後半は、まず $a_n$ の一般項から $S(k)$ を $k$ の式で表し、隣り合う差 $S(k)-S(k+1)$ の符号を調べる。

解法1

$b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$$ b_1=\frac{a_1}{3}=\frac{-84}{3}=-28

$$

である。

また、漸化式

$$ a_{n+1}=3a_n-2\cdot 3^{n+2}n+28\cdot 3^{n+1}

$$

の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} &= \frac{a_n}{3^n} -2\cdot 3n +28 \end{aligned} $$

より、

$$ b_{n+1}=b_n-6n+28

$$

を得る。

したがって、

$$ b_n=b_1+\sum_{j=1}^{n-1}(-6j+28)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} b_n &=-28-6\cdot \frac{(n-1)n}{2}+28(n-1)\\ &=-28-3n(n-1)+28n-28\\ &=-3n^2+31n-56 \end{aligned}

$$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} a_n=3^n b_n &= 3^n(-3n^2+31n-56) \end{aligned} $$

である。因数分解すると、

$$ a_n=3^n(8-n)(3n-7)

$$

である。

次に、

$$ S(k)=a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+a_{k+3}

$$

を求める。

$a_n=3^n(-3n^2+31n-56)$ を用いると、

$$ \begin{aligned} S(k) &=3^k{(-3k^2+31k-56)\\ &\quad+3[-3(k+1)^2+31(k+1)-56]\\ &\quad+9[-3(k+2)^2+31(k+2)-56]\\ &\quad+27[-3(k+3)^2+31(k+3)-56]} \end{aligned}

$$

である。

中身を整理する。各項は

$$ \begin{aligned} -3k^2+31k-56,\\ -3(k+1)^2+31(k+1)-56&=-3k^2+25k-28,\\ -3(k+2)^2+31(k+2)-56&=-3k^2+19k-6,\\ -3(k+3)^2+31(k+3)-56&=-3k^2+13k+10 \end{aligned}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S(k) &=3^k{(-3k^2+31k-56)\\ &\quad+3(-3k^2+25k-28)\\ &\quad+9(-3k^2+19k-6)\\ &\quad+27(-3k^2+13k+10)}\\ &=3^k(-120k^2+628k+76) \end{aligned}

$$

となる。

以後、隣り合う差を調べる。

$$ S(k)=4\cdot 3^k(-30k^2+157k+19)

$$

と書けるので、

$$ \begin{aligned} S(k)-S(k+1) &=4\cdot 3^k{(-30k^2+157k+19)\\ &\quad-3[-30(k+1)^2+157(k+1)+19]}\\ &=4\cdot 3^k(60k^2-134k-419) \end{aligned}

$$

である。

したがって、$4\cdot 3^k>0$ より、$S(k)-S(k+1)$ の符号は

$$ 60k^2-134k-419

$$

の符号で決まる。

まず、

$$ \begin{aligned} 60\cdot 2^2-134\cdot 2-419 &= 240-268-419 \\ -447<0 \end{aligned} $$

より、

$$ S(2)-S(3)<0

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} 60\cdot 8^2-134\cdot 8-419 &= 3840-1072-419 \\ 2349>0 \end{aligned} $$

より、

$$ S(8)-S(9)>0

$$

である。

最後に、$S(k)$ が最大となる $k$ を求める。

$$ D(k)=60k^2-134k-419

$$

とおくと、

$$ S(k)-S(k+1)=4\cdot 3^kD(k)

$$

である。

自然数 $k$ について、

$$ \begin{aligned} D(3)=60\cdot 9-134\cdot 3-419 &= 540-402-419 \\ -281<0 \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} D(4)=60\cdot 16-134\cdot 4-419 &= 960-536-419 \\ 5>0 \end{aligned} $$

である。

また、$D(k)$ は上に開く二次式であり、$k\geqq 4$ では増加するので、$k\geqq 4$ において $D(k)>0$ である。

したがって、

$$ S(1)<S(2)<S(3)<S(4)

$$

かつ

$$ S(4)>S(5)>S(6)>\cdots

$$

である。

よって、$S(k)$ が最大となる自然数 $k$ は

$$ k=4

$$

である。

解説

この問題の前半では、漸化式の非斉次項に $3^n$ が含まれていることに注目する。$b_n=\dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと、$3$ 倍の項が消えて

$$ b_{n+1}=b_n-6n+28

$$

という単純な階差型の漸化式になる。

後半では、$S(k)$ そのものの値を直接比較するよりも、隣り合う差 $S(k)-S(k+1)$ を調べるのが有効である。最大値を与える $k$ は、$S(k)$ が増加から減少へ変わる位置で決まる。

今回、

$$ S(k)-S(k+1)=4\cdot 3^k(60k^2-134k-419)

$$

となり、符号は二次式 $60k^2-134k-419$ だけで判定できる。$k=3$ では負、$k=4$ では正となるため、$S(k)$ は $k=4$ で最大になる。

答え

**(1)**

$$ b_1=-28

$$

$$ b_{n+1}=b_n-6n+28

$$

$$ a_n=3^n(-3n^2+31n-56)=3^n(8-n)(3n-7)

$$

**(2)**

$$ S(2)-S(3)<0

$$

$$ S(8)-S(9)>0

$$

**(3)**

$$ k=4

$$