解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1}=2a_n+1$ は、定数項 $1$ があるので、そのまま等比数列として扱えない。そこで、両辺に適当な定数を加えて等比数列の形に直す。

今回は $a_n+1$ に注目すると、きれいに等比数列になる。

解法1

漸化式は

$$ a_{n+1}=2a_n+1

$$

である。両辺に $1$ を加えると、

$$ a_{n+1}+1=2a_n+2=2(a_n+1)

$$

となる。

ここで

$$ b_n=a_n+1

$$

とおくと、

$$ b_{n+1}=2b_n

$$

である。また、$a_1=2$ より

$$ b_1=a_1+1=3

$$

である。

したがって、数列 ${b_n}$ は初項 $3$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1}

$$

となる。

$b_n=a_n+1$ であったから、

$$ a_n=b_n-1=3\cdot 2^{n-1}-1

$$

である。

よって、

$$ \boxed{a_n=3\cdot 2^{n-1}-1}

$$

である。

次に、初項から第 $n$ 項までの和を求める。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= \sum_{k=1}^{n}\left(3\cdot 2^{k-1}-1\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= 3\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}1 \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=1+2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1

$$

また、

$$ \sum_{k=1}^{n}1=n

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &= 3(2^n-1)-n \end{aligned} $$

となる。

すなわち、

$$ \boxed{\sum_{k=1}^{n}a_k=3(2^n-1)-n}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$a_{n+1}=2a_n+1$ をそのまま等比数列と見ないことである。定数項がある一次漸化式では、$a_n$ に一定の数を加えて等比型に変形するのが基本である。

今回の場合は、

$$ a_{n+1}+1=2(a_n+1)

$$

となるため、$a_n+1$ が等比数列になる。この形に気づけば、一般項はすぐに求められる。

和を求めるときは、求めた一般項

$$ a_k=3\cdot 2^{k-1}-1

$$

を代入し、等比数列の和と定数列の和に分けて計算すればよい。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=3\cdot 2^{n-1}-1}

$$

$$ \boxed{\text{イ}=3(2^n-1)-n}

$$