解説

方針・初手

与えられた漸化式

$$ 5a_n a_{n+1}=a_n-a_{n+1}

$$

は、両辺を $a_n a_{n+1}$ で割ると逆数の差が出る形である。したがって、$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく方針が自然である。

解法1

まず、$a_1=1$ より $a_1\neq 0$ である。

漸化式を

$$ 5a_n a_{n+1}=a_n-a_{n+1}

$$

とする。ここで、もし $a_{n+1}=0$ なら右辺は $a_n$、左辺は $0$ となるから $a_n=0$ でなければならない。したがって、$a_n\neq 0$ なら $a_{n+1}\neq 0$ である。

$a_1\neq 0$ なので、帰納的にすべての $n$ について $a_n\neq 0$ が成り立つ。よって、両辺を $a_n a_{n+1}$ で割ることができる。

$$ 5=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}

$$

ここで

$$ b_n=\frac{1}{a_n}

$$

とおくと、

$$ b_{n+1}-b_n=5

$$

となる。つまり、数列 ${b_n}$ は公差 $5$ の等差数列である。

また、

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=1

$$

であるから、

$$ b_n=1+5(n-1)=5n-4

$$

したがって、

$$ \frac{1}{a_n}=5n-4

$$

より、

$$ a_n=\frac{1}{5n-4}

$$

である。

特に、

$$ a_2=\frac{1}{5\cdot 2-4}=\frac{1}{6}

$$

$$ a_3=\frac{1}{5\cdot 3-4}=\frac{1}{11}

$$

解説

この問題の核心は、漸化式が $a_n$ と $a_{n+1}$ の積を含むため、そのままでは等差型にも等比型にも見えない点である。

しかし、両辺を $a_n a_{n+1}$ で割ると

$$ 5=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}

$$

となり、逆数の数列が等差数列になる。分数型の漸化式では、逆数を取ることで一次的な関係に変形できることが多い。

また、両辺を $a_n a_{n+1}$ で割る前に、$a_n$ と $a_{n+1}$ が $0$ でないことを確認する必要がある。この確認を省くと、除法の正当性が不十分になる。

答え

$$ a_2=\frac{1}{6},\qquad a_3=\frac{1}{11}

$$

$$ a_n=\frac{1}{5n-4}

$$