解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_{n-1},a_n,a_{n+1}$ を含むが、$b_n=(n+1)a_{n+1}-a_n$ という形を用いると、隣り合う $b_n,b_{n+1}$ の差が消える。まず $b_{n+1}$ を $a_{n+2},a_{n+1}$ で表し、元の漸化式を使って $a_{n+2}$ を消去する。

解法1

$n\geqq 1$ に対して、

$$ b_{n+1}=(n+2)a_{n+2}-a_{n+1}

$$

である。

一方、もとの漸化式

$$ a_{n-1}=(n+1)(a_n-a_{n+1}) \quad (n\geqq 2)

$$

において、$n$ を $n+1$ に置き換えると、

$$ a_n=(n+2)(a_{n+1}-a_{n+2})

$$

となる。したがって、

$$ (n+2)a_{n+2}=(n+2)a_{n+1}-a_n

$$

である。これを $b_{n+1}$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=(n+2)a_{n+2}-a_{n+1} \\ &={(n+2)a_{n+1}-a_n}-a_{n+1} \\ &=(n+1)a_{n+1}-a_n \\ &=b_n \end{aligned}

$$

となる。よって、関係式は

$$ b_{n+1}=b_n \quad (n\geqq 1)

$$

である。

次に初項を求める。

$$ b_1=2a_2-a_1=2\cdot \frac12-1=0

$$

であるから、$b_{n+1}=b_n$ より、

$$ b_n=0 \quad (n\geqq 1)

$$

である。

したがって、

$$ (n+1)a_{n+1}-a_n=0

$$

すなわち、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}

$$

である。

$a_1=1$ より、順に

$$ a_2=\frac{a_1}{2},\quad a_3=\frac{a_2}{3},\quad a_4=\frac{a_3}{4},\quad \cdots

$$

となるので、

$$ a_n=\frac{1}{n!}

$$

である。

解説

この問題の要点は、与えられた $b_n=(n+1)a_{n+1}-a_n$ が、もとの漸化式を変形して自然に現れる形であることに気づく点である。

$a_n=(n+2)(a_{n+1}-a_{n+2})$ を用いると、$b_{n+1}$ がそのまま $b_n$ に変形される。したがって $b_n$ は定数列であり、初項 $b_1$ を調べるだけで $b_n=0$ が確定する。

その後は $a_{n+1}=a_n/(n+1)$ という単純な漸化式に帰着され、階乗型の一般項が得られる。

答え

$$ \text{[ア]}\quad b_{n+1}=b_n \quad (n\geqq 1)

$$

$$ \text{[イ]}\quad b_n=0

$$

$$ \text{[ウ]}\quad a_n=\frac{1}{n!}

$$