解説

方針・初手

いずれも $x_{n+1}=2x_n+f(n)$ 型の漸化式である。係数 $2$ の斉次部分を処理するため、$2^n$ で割る方法、または適当な式を移項して等比数列に帰着する方法が有効である。

ここでは、各数列について「左辺全体が $2$ 倍される形」を作る。

解法1

$a_n$ について

与えられた漸化式は

$$ a_{n+1}=2a_n+1

$$

である。定数項 $1$ を消すため、両辺に $1$ を加えると

$$ a_{n+1}+1=2a_n+2=2(a_n+1)

$$

となる。よって数列 ${a_n+1}$ は公比 $2$ の等比数列である。

初項は

$$ a_1+1=3+1=4

$$

であるから、

$$ a_n+1=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}

$$

となる。したがって

$$ a_n=2^{n+1}-1

$$

である。

$b_n$ について

与えられた漸化式は

$$ b_{n+1}=2b_n+n

$$

である。$2$ 倍で進む部分を除くため、$2^n$ で割る。

$$ \frac{b_{n+1}}{2^n}=\frac{b_n}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}

$$

ここで

$$ d_n=\frac{b_n}{2^{n-1}}

$$

とおくと、

$$ d_{n+1}=d_n+\frac{n}{2^n}

$$

である。したがって、$n\geqq 2$ のとき

$$ d_n=d_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}

$$

となる。$d_1=b_1=2$ なので、

$$ d_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}

$$

である。

ここで

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+1}{2^{n-1}}

$$

を用いると、

$$ d_n=2+2-\frac{n+1}{2^{n-1}} =4-\frac{n+1}{2^{n-1}}

$$

である。よって

$$ b_n=2^{n-1}d_n =2^{n-1}\left(4-\frac{n+1}{2^{n-1}}\right) =2^{n+1}-n-1

$$

となる。

したがって

$$ b_n=2^{n+1}-n-1

$$

である。

$c_n$ について

与えられた漸化式は

$$ c_{n+1}=2c_n+\frac{1}{2}n(n-1)

$$

である。先ほどと同様に $2^n$ で割る。

$$ \begin{aligned} \frac{c_{n+1}}{2^n} &= \frac{c_n}{2^{n-1}} + \frac{n(n-1)}{2^{n+1}} \end{aligned} $$

ここで

$$ e_n=\frac{c_n}{2^{n-1}}

$$

とおくと、

$$ e_{n+1}=e_n+\frac{n(n-1)}{2^{n+1}}

$$

である。したがって

$$ e_n=e_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k(k-1)}{2^{k+1}}

$$

となる。

ただし $e_1=c_1=2$ であるから、

$$ \begin{aligned} c_n &= 2^{n-1}\left( 2+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k(k-1)}{2^{k+1}} \right) \end{aligned} $$

である。この和を直接計算してもよいが、ここではより簡単に、2次式を用いて処理する。

漸化式

$$ c_{n+1}=2c_n+\frac{1}{2}n(n-1)

$$

に対して、特解を

$$ -\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n-1

$$

と見る。実際、

$$ p_n=-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n-1

$$

とおくと、

$$ p_{n+1}-2p_n=\frac{1}{2}n(n-1)

$$

が成り立つ。

したがって

$$ c_{n+1}-p_{n+1}=2(c_n-p_n)

$$

であるから、数列 ${c_n-p_n}$ は公比 $2$ の等比数列である。

初項は

$$ p_1=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-2

$$

なので、

$$ c_1-p_1=2-(-2)=4

$$

である。よって

$$ c_n-p_n=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}

$$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} c_n &= 2^{n+1}+p_n \\ 2^{n+1}-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n-1 \end{aligned} $$

である。すなわち

$$ c_n=2^{n+1}-\frac{n(n+1)}{2}-1

$$

である。

解説

$a_n$ は定数項を消すために $a_n+1$ を考えればよい。

$b_n$ と $c_n$ は、いずれも $x_{n+1}=2x_n+f(n)$ 型である。一般にこの形では、$2^n$ で割って階差の和にする方法が基本である。ただし $c_n$ のように $f(n)$ が2次式の場合、特解を2次式で探すと和の計算を避けられる。

$b_n$ では $n$ に関する1次式、$c_n$ では $n(n-1)$ に関する2次式が補正項として現れる。したがって、最終的な形はどちらも「$2^{n+1}$ から多項式を引く形」になる。

答え

**(1)**

$$ a_n=2^{n+1}-1

$$

**(2)**

$$ b_n=2^{n+1}-n-1

$$

**(3)**

$$ c_n=2^{n+1}-\frac{n(n+1)}{2}-1

$$