基礎問題集
数学B 数列「2項間漸化式」の問題24 解説
数学Bの数列「2項間漸化式」にある問題24の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
和 $S_n$ が $a_n$ を用いて与えられているので、まず $n=1$ を代入して初項 $a_1$ を求める。
次に、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いて、$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を作る。
解法1
与えられた式
$$ S_n=3a_n-2n
$$
に $n=1$ を代入する。$S_1=a_1$ であるから、
$$ a_1=3a_1-2
$$
より、
$$ a_1=1
$$
である。
次に、
$$ S_{n+1}=3a_{n+1}-2(n+1)
$$
であり、また
$$ S_n=3a_n-2n
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} S_{n+1}-S_n &= {3a_{n+1}-2(n+1)}-(3a_n-2n) \end{aligned} $$
となる。
一方、和の定義より
$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}
$$
であるから、
$$ a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_n-2
$$
となる。これを整理すると、
$$ 2a_{n+1}=3a_n+2
$$
したがって、
$$ a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{2}
$$
である。
ここから一般項を求める。漸化式は
$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+1
$$
である。この形では定数項があるので、定数 $c$ を用いて $a_n+c$ が等比数列になるように変形する。
$$ a_{n+1}+2=\frac{3}{2}a_n+3=\frac{3}{2}(a_n+2)
$$
よって、数列 ${a_n+2}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。
また、
$$ a_1+2=1+2=3
$$
だから、
$$ a_n+2=3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}
$$
したがって、
$$ a_n=3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2
$$
である。
解説
この問題では、$S_n$ が $a_n$ を含む形で与えられているため、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を使って漸化式を作るのが自然である。
初項 $a_1$ は、一般項を求める際に必ず必要になるので、最初に $n=1$ を代入して求める。
得られる漸化式
$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+1
$$
は、定数項を含む一次漸化式である。この場合は、固定値 $-2$ を見つけて
$$ a_{n+1}+2=\frac{3}{2}(a_n+2)
$$
と変形すれば、等比数列に帰着できる。
答え
$$ \text{[ア]} \quad \frac{3a_n+2}{2}
$$
$$ \text{[イ]} \quad 3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2
$$