解説

方針・初手

和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とおくと、条件は $S_n=n^2a_n$ と書ける。

隣り合う $n$ について式を引き、$a_n$ と $a_{n-1}$ の関係式を作るのが自然である。ただし、$S_{n-1}=(n-1)^2a_{n-1}$ が使えるのは $n-1\geqq2$、すなわち $n\geqq3$ のときであるため、まず $a_2$ を別に求める。

解法1

$n=2$ のとき、

$$ a_1+a_2=4a_2

$$

である。$a_1=99900$ より、

$$ 99900=3a_2

$$

したがって、

$$ a_2=33300

$$

である。

次に、$n\geqq3$ とする。条件より、

$$ S_n=n^2a_n

$$

また、

$$ S_{n-1}=(n-1)^2a_{n-1}

$$

である。ここで $S_n-S_{n-1}=a_n$ だから、

$$ n^2a_n-(n-1)^2a_{n-1}=a_n

$$

となる。よって、

$$ (n^2-1)a_n=(n-1)^2a_{n-1}

$$

であり、

$$ (n-1)(n+1)a_n=(n-1)^2a_{n-1}

$$

となる。$n\geqq3$ では $n-1\ne0$ なので、

$$ a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}

$$

を得る。

したがって、$n\geqq3$ に対して、

$$ \begin{aligned} a_n &=a_2\cdot \frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{6}\cdots\frac{n-1}{n+1}\\ &=33300\cdot \frac{2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)}{4\cdot5\cdot6\cdots(n+1)} \end{aligned}

$$

である。分母分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)}{4\cdot5\cdot6\cdots(n+1)} &= \frac{6}{n(n+1)} \end{aligned} $$

であるから、

$$ a_n=33300\cdot\frac{6}{n(n+1)}

$$

すなわち、

$$ a_n=\frac{199800}{n(n+1)}

$$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} a_{999} &= \frac{199800}{999\cdot1000} \end{aligned} $$

ここで $199800=999\cdot200$ だから、

$$ \begin{aligned} a_{999} &= \frac{999\cdot200}{999\cdot1000} \\ \frac{1}{5} \end{aligned} $$

である。

解法2

解法1で得た漸化式

$$ a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}

$$

を少し変形して見る。

両辺に $n(n+1)$ をかけると、

$$ n(n+1)a_n=n(n-1)a_{n-1}

$$

となる。右辺は

$$ (n-1)n a_{n-1}

$$

であるから、数列

$$ n(n+1)a_n

$$

は $n\geqq2$ で一定である。

よって、

$$ n(n+1)a_n=2\cdot3a_2

$$

である。すでに $a_2=33300$ なので、

$$ n(n+1)a_n=6\cdot33300=199800

$$

したがって、

$$ a_n=\frac{199800}{n(n+1)}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} a_{999} &= \frac{199800}{999\cdot1000} \\ \frac{1}{5} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、部分和 $S_n$ を導入して、$S_n-S_{n-1}=a_n$ を使うことである。

ただし、条件 $S_n=n^2a_n$ は $n\geqq2$ に対して与えられているため、$S_{n-1}$ に同じ形を使うには $n\geqq3$ が必要である。そのため、$a_2$ を先に求めてから漸化式を作るのが安全である。

また、

$$ a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}

$$

を得た後は、積をそのまま計算してもよいが、$n(n+1)a_n$ が一定になると見ると処理が短くなる。

答え

$$ a_{999}=\frac{1}{5}

$$