解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=4a_n-2^{n+1}

$$

は、右辺に $4a_n$ と $2^{n+1}$ が現れる非斉次線形漸化式である。$4a_n$ の係数に合わせて、$4^{n-1}$ で割ると差がとりやすくなる。

解法1

両辺を $4^n$ で割る。

$$ \frac{a_{n+1}}{4^n}=\frac{a_n}{4^{n-1}}-\frac{2^{n+1}}{4^n}

$$

ここで

$$ b_n=\frac{a_n}{4^{n-1}}

$$

とおくと、

$$ b_{n+1}=b_n-2^{1-n}

$$

となる。また、$a_1=4$ より

$$ b_1=\frac{a_1}{4^0}=4

$$

である。

したがって、$n\geqq 2$ に対して

$$ \begin{aligned} b_n &=b_1-\sum_{k=1}^{n-1}2^{1-k} \\ &=4-\left(1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}\right) \end{aligned}

$$

等比数列の和より、

$$ 1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}} =2\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right) =2-2^{2-n}

$$

である。よって

$$ b_n=4-\left(2-2^{2-n}\right)=2+2^{2-n}

$$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} a_n &=4^{n-1}b_n \\ &=4^{n-1}\left(2+2^{2-n}\right) \\ &=2\cdot 4^{n-1}+4^{n-1}\cdot 2^{2-n} \\ &=2^{2n-1}+2^n \end{aligned}

$$

である。

これは $n=1$ のときも

$$ 2^{2\cdot 1-1}+2^1=2+2=4

$$

となり、初期条件を満たす。

解説

この問題では、$a_{n+1}=4a_n+\text{別の項}$ という形に着目し、$4^n$ で割って階差型に変形するのが自然である。

非斉次項が $2^{n+1}$ であり、$4^n$ と同じ底ではないため、割った後に等比数列の和が現れる。ここで和の初項や指数をずらしてしまうと誤答になりやすいので、$k=1$ の項が $2^{1-1}=1$ であることを確認するのが重要である。

答え

$$ a_n=2^{2n-1}+2^n \qquad (n=1,2,3,\ldots)

$$