解説

方針・初手

与えられた式は $S_n$ についての漸化式であるが、$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$、$S_{n-1}=S_n-a_n$ を用いると、$a_n$ 自身の漸化式に変形できる。

まず $S_n$ を消去して、$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係を求める。

解法1

$n\geqq 2$ において、

$$ S_{n+1}=S_n+a_{n+1},\qquad S_{n-1}=S_n-a_n

$$

である。これを

$$ 2S_{n+1}-5S_n+3S_{n-1}=1

$$

に代入すると、

$$ 2(S_n+a_{n+1})-5S_n+3(S_n-a_n)=1

$$

となる。$S_n$ の係数は $2-5+3=0$ で消えるので、

$$ 2a_{n+1}-3a_n=1

$$

を得る。したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+\frac{1}{2}

$$

である。

また、$n=1$ のときも、

$$ \frac{3}{2}a_1+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2} =\frac{3}{4}+\frac{2}{4} =\frac{5}{4} =a_2

$$

であるから、

$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+\frac{1}{2}\qquad (n\geqq 1)

$$

が成り立つ。よって

$$ [ア]=\frac{3}{2},\qquad [イ]=\frac{1}{2}

$$

である。

次に、この漸化式を解く。定数解を考えると、

$$ \alpha=\frac{3}{2}\alpha+\frac{1}{2}

$$

より、

$$ \alpha=-1

$$

である。したがって、両辺に $1$ を加えて

$$ a_{n+1}+1=\frac{3}{2}(a_n+1)

$$

と変形できる。

よって数列 ${a_n+1}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列であり、

$$ a_1+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}

$$

だから、

$$ a_n+1=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} =\left(\frac{3}{2}\right)^n

$$

である。したがって、

$$ a_n=\left(\frac{3}{2}\right)^n-1

$$

を得る。よって

$$ [ウ]=\left(\frac{3}{2}\right)^n-1

$$

である。

最後に $S_n$ を求める。

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^k-1\right\}

$$

であるから、

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^k-n

$$

となる。等比数列の和を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{3}{2}\right)^k &= \frac{\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right\}}{\frac{3}{2}-1} \\ 3\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right\} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ a_n=\left(\frac{3}{2}\right)^n-1

$$

だから、

$$ S_n=3a_n-n

$$

である。よって

$$ [エ]=3

$$

である。

解説

この問題の核心は、$S_n$ の漸化式をそのまま解こうとせず、$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$、$S_{n-1}=S_n-a_n$ によって $S_n$ を消去する点である。

係数が $2,-5,3$ となっているため、代入後に $S_n$ の係数が $0$ になり、$a_{n+1}$ と $a_n$ だけの一次漸化式に落ちる。あとは定数項つきの一次漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n+\frac{1}{2}

$$

を、固定値 $-1$ を用いて

$$ a_{n+1}+1=\frac{3}{2}(a_n+1)

$$

と等比数列に直すのが標準的な処理である。

答え

$$ [ア]=\frac{3}{2}

$$

$$ [イ]=\frac{1}{2}

$$

$$ [ウ]=\left(\frac{3}{2}\right)^n-1

$$

$$ [エ]=3

$$