基礎問題集
数学B 数列「2項間漸化式」の問題32 解説
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解説
方針・初手
分数漸化式で $a_n$ が分母にも現れるので、そのまま扱うより逆数をとるのが自然である。
$a_n\neq 0$ として $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくと、漸化式が一次的に変形できる。
解法1
$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。
与えられた漸化式
$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n-1}
$$
の両辺の逆数をとると、
$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{4a_n-1}{a_n}
$$
である。したがって、
$$ \frac{1}{a_{n+1}}=4-\frac{1}{a_n}
$$
となる。
ここで $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおいたので、
$$ b_{n+1}=4-b_n
$$
を得る。また、
$$ b_1=\frac{1}{a_1}=5
$$
である。
よって順に計算すると、
$$ b_2=4-5=-1
$$
$$ b_3=4-(-1)=5
$$
となる。したがって、$b_n$ は
$$ 5,\ -1,\ 5,\ -1,\ \cdots
$$
と交互に現れる。
つまり、奇数番目では $b_n=5$、偶数番目では $b_n=-1$ である。
$10$ は偶数なので、
$$ b_{10}=-1
$$
である。したがって、
$$ a_{10}=\frac{1}{b_{10}}=-1
$$
となる。
解説
この問題の要点は、漸化式をそのまま追いかけず、逆数をとって簡単な形に直すことである。
特に
$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{4a_n-1}
$$
のように、$a_n$ が分子にも分母にも含まれる形では、逆数をとると
$$ \frac{1}{a_{n+1}}=4-\frac{1}{a_n}
$$
となり、規則が見えやすくなる。
今回は逆数列 $b_n$ が $5$ と $-1$ を交互に繰り返すだけなので、一般項を本格的に求めなくても $a_{10}$ を求められる。
答え
$$ a_{10}=-1
$$