解説

方針・初手

$a_{n+1}$ が分数式で与えられており、分母に $a_n$ が含まれているので、逆数 $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ を用いて一次の漸化式に直す。

解法1

$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。

与えられた漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+2}

$$

の両辺の逆数をとると、

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+2}{a_n}

$$

である。右辺を分けると、

$$ \frac{3a_n+2}{a_n}=3+\frac{2}{a_n}

$$

となるから、$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ より

$$ b_{n+1}=3+2b_n

$$

を得る。

また、$a_1=1$ であるから

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=1

$$

である。したがって、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=2b_n+3,\qquad b_1=1

$$

を満たす。

この漸化式を解くため、定数解を考える。$b_{n+1}=b_n=c$ とすると、

$$ c=2c+3

$$

より

$$ c=-3

$$

である。そこで、両辺に $3$ を加えると、

$$ b_{n+1}+3=2(b_n+3)

$$

となる。

よって、数列 ${b_n+3}$ は初項

$$ b_1+3=4

$$

公比 $2$ の等比数列である。したがって、

$$ b_n+3=4\cdot 2^{n-1}

$$

であり、

$$ b_n=4\cdot 2^{n-1}-3=2^{n+1}-3

$$

となる。

最後に $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ であるから、

$$ a_n=\frac{1}{b_n}

$$

より

$$ a_n=\frac{1}{2^{n+1}-3}

$$

である。

解説

分数型の漸化式では、逆数をとることで一次漸化式になることがある。この問題では

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+2}

$$

の逆数をとると、右辺が $3+\dfrac{2}{a_n}$ となり、$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ によって

$$ b_{n+1}=2b_n+3

$$

という基本的な一次漸化式に帰着できる。

一次漸化式 $b_{n+1}=2b_n+3$ は、そのままでは等比数列ではない。定数解 $-3$ を利用して $b_n+3$ の形に直すことで、等比数列として処理できる。

答え

**(1)**

$$ b_{n+1}=2b_n+3

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{1}{2^{n+1}-3}

$$