解説

方針・初手

各数列は

$$ x_n=r_nx_{n-1}

$$

の形で与えられているので、一般項は

$$ x_n=x_1\prod_{k=2}^{n}r_k

$$

として表す。分母・分子が隣り合う $k$ で打ち消し合う形、すなわち望遠積を作るのが初手である。

解法1

**(1)**

$n\geqq 2$ のとき、

$$ a_n=a_1\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k+1}

$$

である。$a_1=1$ より、

$$ a_n=\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k+1} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)}{3\cdot 4\cdot 5\cdots (n+1)}

$$

となる。分子と分母を階乗で表すと、

$$ a_n=\frac{(n-1)!}{\frac{(n+1)!}{2}} =\frac{2(n-1)!}{(n+1)!} =\frac{2}{n(n+1)}

$$

である。

この式は $n=1$ のときも

$$ \frac{2}{1\cdot 2}=1

$$

となり、初項 $a_1=1$ と一致する。

したがって、

$$ a_n=\frac{2}{n(n+1)}

$$

である。

**(2)**

$n\geqq 2$ のとき、

$$ b_n=b_1\prod_{k=2}^{n}\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}

$$

である。ここで

$$ k^2-k+1=(k-1)^2+(k-1)+1

$$

であるから、分母は1つ前の分子と対応している。

したがって、

$$ \begin{aligned} b_n &=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} \\ &=\frac{2^2+2+1}{1^2+1+1} \cdot \frac{3^2+3+1}{2^2+2+1} \cdots \frac{n^2+n+1}{(n-1)^2+(n-1)+1} \end{aligned}

$$

となり、途中の因子が消える。よって、

$$ b_n=\frac{n^2+n+1}{1^2+1+1} =\frac{n^2+n+1}{3}

$$

である。

この式は $n=1$ のときも

$$ \frac{1^2+1+1}{3}=1

$$

となり、初項 $b_1=1$ と一致する。

したがって、

$$ b_n=\frac{n^2+n+1}{3}

$$

である。

**(3)**

$n\geqq 2$ のとき、

$$ c_n=c_1\prod_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}

$$

である。ここで因数分解すると、

$$ k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)

$$

かつ

$$ k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{k^3-1}{k^3+1} &= \frac{k-1}{k+1}\cdot \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} c_n &=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1} \\ &=\prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k+1} \cdot \prod_{k=2}^{n}\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} \end{aligned}

$$

である。前半の積は （1） と同じで、

$$ \begin{aligned} \prod_{k=2}^{n}\frac{k-1}{k+1} &= \frac{2}{n(n+1)} \end{aligned} $$

である。後半の積は （2） と同じで、

$$ \begin{aligned} \prod_{k=2}^{n}\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} &= \frac{n^2+n+1}{3} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} c_n= \frac{2}{n(n+1)}\cdot \frac{n^2+n+1}{3} &= \frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)} \end{aligned} $$

である。

この式は $n=1$ のときも

$$ \frac{2(1^2+1+1)}{3\cdot 1\cdot 2}=1

$$

となり、初項 $c_1=1$ と一致する。

したがって、

$$ c_n=\frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}

$$

である。

**(4)**

（3） より、

$$ c_k=\frac{2(k^2+k+1)}{3k(k+1)}

$$

である。ここで

$$ k^2+k+1=k(k+1)+1

$$

だから、

$$ \begin{aligned} c_k &=\frac{2}{3}\cdot \frac{k(k+1)+1}{k(k+1)} \\ &=\frac{2}{3}+\frac{2}{3k(k+1)} \end{aligned}

$$

となる。また、

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

$$

であるから、

$$ c_k=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=1}^{n}c_k \\ &=\sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\right\} \\ &=\frac{2n}{3} +\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{n+1}\right) \end{aligned}

$$

となる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{2n}{3}+\frac{2n}{3(n+1)} \\ &=\frac{2n(n+1)+2n}{3(n+1)} \\ &=\frac{2n(n+2)}{3(n+1)} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では、漸化式をそのまま順に計算するのではなく、比を積に直して望遠積として処理することが重要である。

（1） は

$$ \frac{k-1}{k+1}

$$

の積が大きく打ち消し合う基本形である。

（2） は

$$ k^2-k+1=(k-1)^2+(k-1)+1

$$

に気づくと、分母が前の分子になる。これも望遠積である。

（3） は

$$ k^3-1=(k-1)(k^2+k+1),\qquad k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)

$$

と因数分解することで、（1） と （2） の結果をそのまま利用できる。

（4） は、（3） で得た $c_k$ を

$$ c_k=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)

$$

と部分分数分解することで、和も望遠和になる。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{2}{n(n+1)}

$$

**(2)**

$$ b_n=\frac{n^2+n+1}{3}

$$

**(3)**

$$ c_n=\frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}

$$

**(4)**

$$ S_n=\frac{2n(n+2)}{3(n+1)}

$$