解説

方針・初手

(1) は分母に $a_n$ が現れる形なので、逆数をとると一次の漸化式になる。

(2) は $a_{n+1}=2a_n+3^n$ という非同次線形漸化式である。$2a_n$ の部分を消すため、$2^{n-1}$ で割るか、特解を考える。

解法1

(1) について考える。

$$ a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}

$$

より、$a_n\neq 0$ である範囲では逆数をとって

$$ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{3a_n+1}{a_n}=3+\frac{1}{a_n}

$$

となる。

ここで

$$ b_n=\frac{1}{a_n}

$$

とおくと、

$$ b_{n+1}=b_n+3

$$

であり、

$$ b_1=\frac{1}{a_1}=4

$$

である。したがって、${b_n}$ は初項 $4$、公差 $3$ の等差数列なので、

$$ b_n=4+3(n-1)=3n+1

$$

となる。

よって

$$ a_n=\frac{1}{b_n}=\frac{1}{3n+1}

$$

である。

次に (2) を考える。

$$ a_{n+1}=2a_n+3^n

$$

である。まず同次部分 $a_{n+1}=2a_n$ から、$2^{n-1}$ が基本になると考える。

両辺を $2^n$ で割ると、

$$ \frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{a_n}{2^{n-1}}+\frac{3^n}{2^n}

$$

となる。そこで

$$ b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}

$$

とおくと、

$$ b_{n+1}=b_n+\left(\frac{3}{2}\right)^n

$$

である。また

$$ b_1=a_1=1

$$

だから、

$$ b_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{3}{2}\right)^k

$$

となる。等比数列の和を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{3}{2}\right)^k &= \frac{\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}}{\frac{3}{2}-1} \\ 3\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} b_n &= 1+3\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\} \\ 3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} a_n &= 2^{n-1}b_n \\ 2^{n-1}\left\{3\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}-2\right\} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} a_n &= 3^n-2^n \end{aligned} $$

となる。

解説

(1) は分数型の漸化式で、$a_{n+1}$ が $a_n$ の分数式で与えられている。この型では、逆数をとると単純な漸化式になることが多い。実際に $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくことで、等差数列に帰着できる。

(2) は非同次線形漸化式である。$a_{n+1}=2a_n$ の部分に合わせて $2^{n-1}$ で割ると、差分の形になる。非同次項 $3^n$ が残るため、最終的には等比数列の和を計算する問題になる。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{1}{3n+1}

$$

**(2)**

$$ a_n=3^n-2^n

$$