解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1}=3a_n+2$ は、定数項 $2$ がある一次漸化式である。まず定数項を消すために、$a_n$ に一定の数を加えて等比数列に直す。

解法1

$a_{n+1}=3a_n+2$ の定数項を消すため、$a_n+c$ が等比数列になるように考える。

$$ a_{n+1}+c=3(a_n+c)

$$

となればよいので、

$$ a_{n+1}+c=3a_n+3c

$$

である。一方、漸化式より $a_{n+1}=3a_n+2$ だから、

$$ 3a_n+2+c=3a_n+3c

$$

より、

$$ 2+c=3c

$$

したがって、

$$ c=1

$$

である。

そこで、

$$ b_n=a_n+1

$$

とおくと、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+1}+1 \\ &=3a_n+2+1 \\ &=3a_n+3 \\ &=3(a_n+1) \\ &=3b_n \end{aligned}

$$

となる。よって、${b_n}$ は公比 $3$ の等比数列である。

また、

$$ b_1=a_1+1=1+1=2

$$

だから、

$$ b_n=2\cdot 3^{n-1}

$$

である。したがって、

$$ a_n=b_n-1=2\cdot 3^{n-1}-1

$$

を得る。

次に、初項から第 $n$ 項までの和を求める。

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k =\sum_{k=1}^{n}\left(2\cdot 3^{k-1}-1\right)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &=2\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}1 \\ &=2\cdot \frac{3^n-1}{3-1}-n \\ &=3^n-1-n \end{aligned}

$$

となる。

解法2

漸化式を順に代入して一般項を求める。

$$ a_{n+1}=3a_n+2

$$

より、

$$ \begin{aligned} a_n &=3a_{n-1}+2 \\ &=3(3a_{n-2}+2)+2 \\ &=3^2a_{n-2}+2(3+1) \end{aligned}

$$

である。同様に繰り返すと、

$$ a_n=3^{n-1}a_1+2(3^{n-2}+3^{n-3}+\cdots+3+1)

$$

となる。

$a_1=1$ だから、

$$ \begin{aligned} a_n &=3^{n-1}+2\cdot \frac{3^{n-1}-1}{3-1} \\ &=3^{n-1}+3^{n-1}-1 \\ &=2\cdot 3^{n-1}-1 \end{aligned}

$$

である。

よって、初項から第 $n$ 項までの和は、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_k &=\sum_{k=1}^{n}\left(2\cdot 3^{k-1}-1\right) \\ &=2\cdot \frac{3^n-1}{2}-n \\ &=3^n-1-n \end{aligned}

$$

である。

解説

一次漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ では、定数項 $q$ を消して等比数列に直すのが基本である。この問題では $a_n+1$ とおくことで、

$$ a_{n+1}+1=3(a_n+1)

$$

となり、等比数列として処理できる。

和を求めるときは、一般項を求めた後に等比数列の和の公式を使えばよい。$a_n$ に $-1$ が含まれているため、最後に $-n$ が出る点に注意する。

答え

$$ \boxed{[ア]\ 2\cdot 3^{n-1}-1}

$$

$$ \boxed{[イ]\ 3^n-n-1}

$$